Лекція 5

Симплекс–метод розв’язку задач ЛП. Пропонований метод є найбільш поширеним універсальним вирахувальним методом, який може використовуватись при розв’язку задач ЛП як вручну, так і з допомогою ЕОМ.

Ідея цього методу полягає в послідовному русі базовими опорними планами (впорядкований перегляд вершин многогранника) в напрямку незменшення значення цільової функції. Повторне застосування процедури приведе в кінці кінців до плану, що відповідає оптимальному.

Розглянемо послідовно процес підготовки вихідних даних і алгоритм розв’язку табличним симплекс–методом. Якщо математична модель задачі записана у вигляді ( ), то попередньо необхідно:

1. звести математичну модель задачі до канонічного вигляду;

2. визначити початковий допустимий базовий розв’язок задачі;

3. ввести у вхідну симплекс–таблицю параметри, які відповідають початковому базовому розв’язку;

4. оцінки (останній рядок таблиці) визначаються за формулами:

; (4)

5. коефіцієнти базових змінних записуються у лівий стовпчик таблиці;

6. значення цільової функції поточної бази

(5)

записують в останній рядок стовпчика плану.

Наведені пункти стануть зрозумілішими, коли буде розглянуто приклад.

Алгоритм симплекс–методу. Алгоритм розв’язку задачі – це сукупність послідовних дій, які необхідно виконати, розв’язуючи задачу. Для симплекс-методу він виглядає так:

1. заповнюється перша таблиця згідно із записаними вище пунктами;

2. якщо для всіх , то план оптимальний;

3. якщо є таке і в стовпчику всі елементи , то функція не обмежена зверху в області допустимих розв’язків;

4. якщо є і в –му стовпчику є хоча б один елемент , то можливий перехід до поліпшеного плану з більшим значенням цільової функції;

5. вектор А_k, який необхідно ввести в базу, визначається з відношення

.

Із бази виводиться вектор А_r, на якому досягається мінімум Рядок називається напрямним (головним) і позначається стрілкою;

6. заповнюється таблиця, яка відповідає новому базовому розв’язку, де всі елементи таблиці визначаються рекурентним співвідношенням

(6)

, , l – номер ітерації.

Значення можна шукати двома способами: а) як кожен елемент таблиці за ітерацією (6); б) за формулою (4). Це можна використати для контролю обчислень.

Процес обчислення закінчується, якщо знайдено оптимальний розв’язок (пункт 2) або якщо функція не обмежена в області допустимих розв’язків (пункт 3).

Приклад 2. Підприємство виготовляє вироби чотирьох видів , які мають необмежений збут. Лімітуючим фактором є три групи обладнання, плановий фонд часу роботи яких заданий і не може бути перевищений. Відомі норми часу на обробіток кожного виду виробу на обладнанні кожної групи, а також прибуток за одиницю виробу.

Обладнання	Час на виготовлення одиниці продукції, год				Місячний фонд часу, год
	А	В	С	D
1 2 3 Прибуток від реалізації, тис. грн.	1 3 6 0,4	2 5 0 0,2	4 1 3 0,5	8 0 1 0,8	240 120 300

Скласти план виробництва, який забезпечить максимальний прибуток підприємству. Розв’язати задачу симплекс–методом.

Розв’язання. Складемо математичну модель задачі. Нехай − план виготовлення виробів відповідно . Враховуючи всі обмеження, побудуємо математичну модель задачі.

Знайти максимум функції

,

при обмеженнях

, .

Зведемо задачу до канонічного вигляду, ввівши додаткові (штучні) змінні , які будуть базовими на першому етапі. Отримаємо задачу

Заповнимо першу симплекс–таблицю.

Таблиця 1

План
	База		0		0,4		0,2		0,5		0,8			0	0		0
			А0		А1		А2		А3		А4			А5	А6		А7
0			240		1		2		4		8			1	0		0←
0			120		3		5		1		0			0	1		0
0			300		6		0		3		1			0	0		1
			0		− 0,4		−0,2		−0,5		−0,8 ↑			0	0		0

Таблиця 1 заповнена згідно з наведеними вище правилами. Неважко бачити, як система обмежень внесена в таблицю. Останній рядок заповнений за формулами (4). У задачах з додатними вільними змінними (у нашому випадку ) початковий допустимий базовий розв’язок легко знаходиться, якщо взяти за базові вектори А₅, А₆, А₇, які утворюють одиничну підматрицю розміром . Початковий допустимий базовий розв’язок . Якщо початкова база складається з вільних змінних, для яких , то . Значення функції для такої бази дорівнює нулю.

Оскільки в рядку таблиці 1 є від’ємні елементи, то план можна поліпшити. Для цього виберемо головний стовпчик (позначимо його стрілкою внизу) таблиці 1 за найменшим від’ємним елементом рядка (не враховуючи ₀). Тепер виберемо головний рядок (позначимо горизонтальною стрілкою збоку таблиці) за найменшим додатним відношенням елементів плану до головного стовпчика (згідно з п.5 алгоритму). На перетині головного рядка і головного стовпчика виділяємо головний елемент (виділений жирно або в рамочку).

Переходимо до другої таблиці згідно з алгоритмом. Змінна вводиться в базу, а – виводиться з бази. Тобто А₄ стає базовим вектором замість А₅. Головний рядок ділимо на головний елемент 8 і заносимо результат в таблицю в першу чергу на тому ж місці, де цей рядок був. З допомогою цього рядка робимо решту елементів головного стовпчика нулями, домножуючи головну стрічку на відповідний коефіцієнт і додаючи до іншого рядка (фактично виключаємо х₄ з решти рівнянь системи). Або це все одно, що рахувати елементи таблиці за формулою (6).

Таблиця 2

План
	База		0			0,4		0,2		0,5		0,8		0		0	0
			А0			А1		А2		А3		А4		А5		А6	А7
0,8			30			1/8		1/4		1/2		1		1/8		0	0
0			120			3		5		1		0		0		1	0←
0			270			47/8		-1/4		5/2		0		-1/8		0	1
			24			−0,3 ↑		0		−0,1		0		0,1		0	0

З останнього рядка таблиці 2 видно, що план можна поліпшити. Вибираємо головний стовпчик (найменший від’ємний елемент позначений стрілкою знизу) та головний рядок (стрілка збоку) аналогічно до попереднього. Ділимо головний рядок на головний елемент (на 3) і робимо решту елементів у головному стовпчику нулями (аналогічно до попереднього). При цьому виводиться з бази, йде в базу в новій таблиці.

Таблиця 3

План
		База		0		0,4		0,2		0,5		0,8		0		0	0
				А0		А1		А2		А3		А4		А5		А6	А7
0,8				25		0		1/24		11/24		1		1/8		-1/24	0
0,4				40		1		5/3		1/3		0		0		1/3	0
0				35		0		-241/24		13/24		0		-1/8		-47/24	1
				36		0		0,5		0		0		0,1		0,1	0

Згідно з алгоритмом, таблиця 3 є останньою. З неї отримуємо розв’язок, прирівнюючи відповідні з бази до елементів плану:

.

При такому плані виробництва підприємство отримає максимальний прибуток, який дорівнює тис. грн. (в останній таблиці ).

Задачу мінімізації легко звести до задачі на знаходження максимуму (змінити знаки цільової функції) і розв’язувати далі за наведеним алгоритмом.

Строго кажучи, задача має бути зведена до канонічного вигляду. Однак ця процедура не обов’язкова, оскільки описаний алгоритм дозволяє розв’язувати і задачі мінімізації. При цьому оптимальний план буде отримано, якщо всі .