Лекція 4 § 4. Лінійне та нелінійне програмування

У практиці планування доводиться зупинятись лише на більш чи менш вдалих варіантах плану, не з’ясовуючи навіть, наскільки вони далекі від оптимальних. Одним із найбільш доступних, ефективних і перевірених на практиці методів розв’язування задач оптимального планування є лінійне програмування (ЛП).

Методами лінійного програмування часто розв’язують такі задачі:

1. задачі про складання раціону, який містить певний запас поживних речовин;

2. задачі розподілу обмеженого ресурсу добрив;

3. задачі складання розкладу;

4. транспортні задачі та ін.

Найбільш загальною моделлю визначення показників оптимального плану є загальна задача математичного програмування: знайти максимум або мінімум функції змінних

(1)

при виконанні нерівностей (в області допустимих розв’язків)

(2)

, (3)

де – показники техніко-економічних характеристик плану (наприклад, обсяг випуску продукції); − функція, яка визначає величину –го, який лімітує план, показника (витрати сировини, трудових ресурсів, робочого часу); − величина −го, що лімітує план, показника; − оптимізована величина.

Якщо − лінійні функції своїх аргументів, то задача ( ) має назву задачі лінійного програмування.

Варто зауважити, що в лінійному програмуванні від задачі на мінімум можна перейти до задачі на максимум і навпаки, змінивши коефіцієнти цільової функції на протилежні.

Задачу ( ) будемо вважати зведеною до канонічного вигляду, якщо це задача на знаходження максимуму цільової функції (це можна завжди зробити, виходячи з попереднього) і у (2) з нерівностей зроблено рівності за допомогою введення штучних змінних.

Найбільш розповсюдженим, універсальним методом розв’язку задач ЛП є симплекс–метод. Існують в ЛП і спеціальні методи, які враховують особливості математичної моделі задачі.

Розглянемо на прикладі, як формалізується задача, тобто як побудувати математичну модель для задачі виробництва.

Задача. Нехай для виробництва двох видів продукції і використовується матеріал трьох сортів. На виготовлення одиниці виробу виду витрачається кг матеріалу першого сорту, кг матеріалу другого сорту і кг матеріалу третього сорту. На виготовлення одиниці виробу виду необхідно затратити кг матеріалу першого сорту, кг матеріалу другого сорту, кг матеріалу третього сорту. Підприємство забезпечене матеріалом у кількості: кг – першого, кг – другого та кг – третього сорту. За одиницю виробу виду підприємство має прибуток

грн., за одиницю виробу виду – грн.

Скласти план виробництва продукції двох видів, який забезпечує підприємству максимальний прибуток від реалізації.

Схема побудови математичної моделі задачі. Нехай – кількості виготовленої продукції підприємством виду та відповідно. Тоді загальний прибуток від реалізації продукції складає . Обмеження на запаси сировини приводять нас до нерівностей

Оскільки та – кількості виготовленої продукції, то .

Отже, задача виробництва зведена до задачі математичного програмування. Знайти максимум функції

,

при обмеженнях ; .

Графічний метод розв'язання задачі ЛП. Графічний метод полягає в тому, що точку, в якій досягається максимум чи мінімум функції, знаходять графічно. Кожна нерівність системи обмежень дає, геометрично, півплощину. А перетин цих півплощин описує область допустимих значень (область розв’язків системи) . У цій області шукаємо точку, в якій досягається екстремум. Для цього цільову функцію прирівняємо до довільного значення , наприклад до нуля.

Будуємо графік цієї прямої. Її називають лінією рівня. На цій лінії наша функція приймає значення h. Переміщаючи її паралельно самій собі, ввійдемо в область Ω. Перша і остання точки дотику лінії рівня, при її паралельному переміщенні, з областю є точками, в яких функція досягає мінімуму та максимуму. Де саме мінімум, а де максимум – легко встановити тому, що вектор вказує напрям зростання функції.

Координати точки, де досягається екстремум, знаходять, розв’язавши систему двох рівнянь з двома невідомими (вершина перетину двох півплощин). Графічний метод використовують, як правило, при розв’язанні задач у двовимірному просторі. Для тривимірного простору такі задачі розв’язують рідко, оскільки побудова їх розв’язку незручна і мало наочна.

Приклад 1. Три малі підприємства беруть участь у проміжному виробництві двох видів продукції і . На виготовлення одиниці виробу виду перше підприємство затрачає год., а друге і третє – по годин. На виготовлення одиниці виробу виду перше, друге і третє підприємства затрачають , і годину відповідно. При цьому виробництві перше підприємство може затратити не більше год., друге – год., третє – год. Прибуток від реалізації кожного виду виробу складає та грн. відповідно. Скласти план випуску продукції, який забезпечує максимальний прибуток від реалізації.

Розв’язання. Нехай та – кількості виготовленої продукції видів та . Цільова функція (загальний прибуток) дорівнює . Запишемо обмеження для цієї задачі:

,

Кожна із записаних нерівностей дає, геометрично, півплощину, перетин яких утворює область допустимих значень (ОДЗ) (рис.1). Масштаб вздовж осей координат та виберемо так, щоб зручно було бачити ОДЗ та розв’язок.

Нерівності гарантують те, що ОДЗ розміщена в першій чверті. Зобразимо систему нерівностей як перетин півплощин, які описує ця система.

Побудуємо лінію рівня , прирівнявши цільову функцію до довільного значення, наприклад до 3000: 300 х₁+ 100 х₂ =3000.

Переміщаючи лінію рівня паралельно самій собі у бік збільшення значення цільової функції, бачимо, що максимальне значення функції досягається в точці . Координати точки шукаємо як перетин другої та третьої ліній (меж півплощин)

.

Розв’язок системи .

Отже, .

Знайдемо максимум функції

(грн.).

Отже, оптимальна програма передбачає виготовлення одиниць продукції виду та одиниць виду , що забезпечить виробникам максимальний прибуток грн.

Слід зауважити, що область допустимих розв’язків може бути порожньою, якщо система обмежень несумісна; одною точкою; випуклим многогранником або необмеженою випуклою многогранною областю. В останньому випадку цільова функція може мати екстремум (рис.2), а також може бути необмежена зверху чи знизу (рис.3).

Вектор , що виходить із початку координат і має координатами коефіцієнти цільової функції, показує напрям зростання цільової функції та паралельного переміщення лінії рівня. Тому за цим напрямом легко бачити, в якій точці цільова функція має максимум, а в якій мінімум.

Вектор , який задовольняє умови (2) і (3), називається допустимим планом, або допустимим розв’язком. Множина допустимих планів є випуклою областю. Допустимий план, що є крайньою точкою множини, називається опорним планом. Допустимий план, що перетворює в максимум (мінімум) цільову функцію, називається оптимальним планом задачі. Можна показати, що максимальне та мінімальне значення лінійна функція може приймати лише на краю обмеженої області.