§ 2. Інтерполяція функцій

Часто, розв’язуючи прикладні задачі, зустрічаються із задачею багаторазового обчислення функції, яка має громіздкий вигляд, що дає певні незручності. В цьому випадку вигідно замінити задану функцію наближеною формулою, тобто підібрати деяку функцію , яка в певному розумінні близька до заданої і просто обчислюється. Іноді аналітичний вигляд функції невідомий, а, наприклад, експериментально отримано значення функції її в точках (вузлах) : . Постає питання, як знайти значення функції в деяких інших точках , які знаходяться на відрізку ?

Слід зауважити, що значення побудованої функції мають співпадати із значеннями у вузлах інтерполяції . Функцію називають інтерполяційною. Зручно, за інтерполяційну функцію брати многочлен. Таку інтерполяцію називають параболічною, оскільки вважається, що функцію досить добре можна наблизити параболою певного порядку, аналітичним виразом якої є степеневий многочлен .

Задачу параболічної інтерполяції можна інтерпретувати так: знайти алгебраїчну криву виду , яка проходить через точки .

Якщо належить заданому відрізку , то задачу знаходження наближеного значення функції називають інтерполюванням у вузькому розумінні. Якщо ж знаходиться зовні відрізка , то задачу визначення функції в точці називають екстраполюванням.

1. Скінченні різниці. Нехай задано функцію . Позначимо через фіксовану величину приросту аргументу (крок). Тоді перша скінченна різниця функції дорівнює:

. (1)

Другу скінченну різницю визначають:

Аналогічно визначають скінченні різниці:

. (2)

Приклад 1. Побудувати скінченні різниці для функції , взявши за крок .

Розв’язання. Згідно алгоритму побудови скінченних різниць (2), маємо:

;

;

, при .

Символ (дельта) можна розглядати як оператор, що ставить у відповідність функції функцію . Цей оператор володіє властивостями:

1) ;

2) , ( const);

3) ,

де цілі числа, при цьому за визначенням .

Із формули (1) маємо:

.

Розглядаючи як символічний множник, отримаємо

.

Послідовно застосовуючи це співвідношення разів, матимемо

.

Користуючись формулою бінома Ньютона, останнє співвідношення можна записати

. (3)

Таким чином, формула (3) дає можливість знайти послідовні значення функції через її скінченні різниці різних порядків.

Із тотожності , застосовуючи біном Ньютона, отримаємо

Використовуючи вище вказані співвідношення, остання формула набуває вигляду

(4)

Формули (4) визначають скінченні різниці го порядку функції через послідовні значення цієї функції.

2. Побудова таблиці скінченних різниць. На практиці часто доводиться розглядати функції , задані таблично для систем рівновіддалених точок , так що , де const. Скінченні різниці різних порядків для послідовності визначають так:

(5)

Із першої рівності, маємо

.

Звідси послідовно виводимо

. (6)

Скориставшись формулою бінома Ньютона для останньої рівності (6), отримаємо

Тепер, легко бачити що

. (7)

Наприклад,

Зауважимо, що для обчислення потрібно знати значення функції .

Скінченні різниці різних порядків зручно записувати у формі діагональної таблиці різниць

Приклад 2. Скласти таблицю скінченних різниць для функції

,

до третього порядку, від початкового значення , з кроком .

Розв’язання. Вибираємо чотири вузли . Знайдемо значення заданої функції у цих точках

.

Заповнимо ці дані та обчислені скінченні різниці у таблицю

3. Узагальнена степінь. Узагальненою степенню го порядку числа називають добуток співмножників, перший із яких дорівнює , а кожен наступний на менший за попередній:

,

де певне фіксоване стале число.

Показник узагальненої степені записують у квадратних дужках. Приймають, що . Якщо , то узагальнена степінь збігається зі звичайною .

Обчислимо скінченні різниці для узагальненої степені, взявши .

Для першої різниці маємо:

Йдучи аналогічно, для другої різниці, отримаємо . Методом математичної індукції легко вивести формулу

.

Очевидно, що , якщо .

4. Перша інтерполяційна формула Ньютона. Нехай для функції задані значення у рівновіддалених точках , де крок інтерполяції. Потрібно побудувати поліном , який має степінь не вищий за і приймає у вузлах інтерполяції значення які співпадають із значеннями функції, тобто

. (8)

Умови (8) еквівалентні до .

Поліном шукаємо у вигляді

. (9)

Використовуючи узагальнену степінь, вираз (9) запишемо так:

. (10)

Визначимо коефіцієнти полінома . Підставимо у (10) , отримаємо .

Щоб знайти коефіцієнт складемо скінченну різницю першого порядку

.

Підставимо в останньому виразі , отримаємо .

Звідси .

Аналогічно, для визначення коефіцієнта , складемо скінченну різницю другого порядку

.

Підставимо в останньому виразі , отримаємо . Звідси .

Продовжуючи цей процес, отримаємо шукані коефіцієнти

,

де .

Підставимо знайдені коефіцієнти у (10), отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона

. (11)

Очевидно, що поліном (11) повністю задовольняє вимоги поставленої задачі. Справді, по – перше, степінь полінома не вища , по – друге, і враховуючи

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (11) запишемо у перетвореному вигляді. Для цього введемо змінну , тоді

.

Підставляючи ці вирази у формулу (11), отримаємо

, (12)

де кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи з точки . Формула (12) – перша інтерполяційна формула Ньютона. ЇЇ зручно використовувати для інтерполяції функції в околі початкового значення , де мале за абсолютною величиною.

Якщо в (12) взяти , отримаємо формулу лінійного інтерполювання .

Якщо взяти , отримаємо формулу параболічного чи квадратичного інтерполювання

.

Якщо задана необмежена таблиця значень функції то число в інтерполяційній формулі (12) може бути довільним. Практично в цьому випадку число вибирають так, щоб різниця була сталою зі заданою степеню точності. За початкове значення можна взяти довільне табличне значення аргумента .

Якщо таблиця значень функції обмежена, то дорівнює кількості значень функції мінус 1.

Приклад 2. Побудувати на відрізку ,з кроком , інтерполяційний поліном Ньютона для функції, яка задана таблицею, й обчислити значення отриманого полінома в точці

Розв’язання. Обчислимо скінченні границі, згідно викладеного

Оскільки різниці четвертого порядку практично дорівнюють нулю, то у формулі (12) візьмемо . Взявши отримаємо

,

де .

Для розв’язання другої частини задачі обчислимо

.

Підставимо це значення у знайдений поліном

5. Друга інтерполяційна формула Ньютона. Перша інтерполяційна формула практично незручна для інтерполювання функції поблизу кінця таблиці. Тоді використовують другу інтерполяційну формулу Ньютона.

Нехай маємо рівновіддалені значення аргумента , та значення функції в цих точках . Побудуємо поліном у вигляді

або, використавши узагальнену степінь

(13)

Завдання полягає у визначенні коефіцієнтів так, щоб виконувались рівності

Для цього достатньо, щоб

(14)

Візьмемо у формулі (13),тоді отримаємо

Отже,

Візьмемо від лівої й правої частин формули (13) скінченні різниці першого порядку

Звідси, поклавши і врахувавши співвідношення (14), отримаємо:

Отже,

Аналогічно, склавши другу різницю від , отримаємо

Підставимо сюди знаходимо

і, таким чином,

Продовжуючи цей процес разів, отримаємо

Підставляючи ці значення у формулу (13), отримаємо

(15)

Формулу (15) називають другою інтерполяційною формулою Ньютона. Запишемо її у зручнішому вигляді. Для цього візьмемо

. Тоді і т.д.

Підставивши ці значення у формулу (15), отримаємо зручну формулу

(16)

6. Інтерполяційна формула Лагранжа. Інтерполяційні формули Ньютона використовують лише у разі рівновіддалених вузлів інтерполювання. Для довільно заданих вузлів інтерполювання застосовують так звану інтерполяційну формулу Лагранжа.

Нехай на відрізку взято різних значень аргумента та відомі значення функції в цих точках . Побудуємо поліном , який має степінь не вищий , значення якого у вузлах інтерполяції співпадають із значеннями : .

Інтерполяційна формула Лапласа (без виведення) має вигляд:

(17)

Легко бачити що поліном (17) у вузлах інтерполяції співпадає із значеннями функції . Якщо вузли інтерполяції рівновіддалені, то поліном Лагранжа співпадає із поліномом Ньютона.

Якщо , то маємо два вузли і формула Лагранжа дає рівняння прямої і має вигляд ( абсциси цих точок):

.

У випадку , маємо рівняння параболи, яка проходить через три точки ( абсциси цих точок):

.

Для обчислення Лагранжевих коефіцієнтів зручно використовувати наведену нижче схему. Спочатку розміщують у таблицю різниці

(18)

Позначимо добуток елементів першої стрічки через , другої – через , і т.д. добуток елементів головної діагоналі (це многочлен степені) позначимо через . Звідси випливає

, ,

Отже, поліном Лагранжа у стислому вигляді записується

. (19)

Приклад 3. Для функції , яка задана таблицею

побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа, знайти значення побудованої функції в точці та визначити відносну похибку, якщо відомо що .

Розв’язання. Згідно з умовою, оскільки задано чотири вузли, то поліном отримаємо третього степеня. Використовуючи формулу (17), маємо

Виконавши відповідні дії, отримаємо поліном

.

Підставимо у отриманий поліном : .

Таким чином

Для рівновіддалених вузлів інтерполювання , формула Лагранжа (17) спрощується.

Введемо нову змінну .

Звідси . Підставимо це у дріб формули (17), після спрощень, матимемо:

Позначимо , тоді поліном Лагранжа для рівновіддалених вузлів матиме вигляд

. (20)

Коефіцієнти у (20), які є перед величинами :

,

називаються коефіцієнтами Лагранжа. Вони не залежать від вигляду функції і величини кроку , а залежать лише від . Тому можна скласти таблиці для різних значень і використовувати їх у різних задачах інтерполювання для рівновіддалених вузлів.

Поліном Лагранжа співпадає з функцією лише у вузлах інтерполяції, а в інших точках він представляє функцію з деякою похибкою, похибкою методу. Ця похибка (абсолютна похибка) оцінюється

, (21)

де . Якщо відома оцінка похідної на , то формула (21) дозволяє оцінити похибку, яку дає поліном Лагранжа.

Приклад 4. Оцінити точність обчислення величини за інтерполяційною формулою Лагранжа, якщо в якості вузлів інтерполяції вибрані чотири значення аргумента:

Розв’язання. В даному випадку ,

(максимальне значення модуля функції на відрізку ).

Згідно оцінки (21), отримаємо

Задача інтерполяції у загальному випадку є дещо невизначена. Незважаючи на те що у вузлах інтерполяції нам відомі значення функції, у інших точках заданого відрізка значення функції можуть бути які завгодно. Тому інтерполяційні формули є зміст застосовувати для достатньо гладких функцій про яких відомо, що характер зміни функцій та їх похідних на заданому проміжку приблизно відповідає характеру зміни знайдених поліномів і їх відповідних похідних.