2. Оцінка невідомих параметрів за вибіркою

Будемо припускати, що обсяг вибірки . У цьому змісті вибіркові статистики будуть нормальними чи близькими до нормальних. Як правило, висновки вірні і для .

Постановка задачі. Нехай — випадкова величина з функцією розподілу , де — параметр розподілу, числове значення якого невідоме. Розглянемо деяку множину вибірок обсягом . Вибіркову статистику параметра , обчислену за -ою вибіркою, позначимо .

Оскільки склад вибірки випадковий, то можна сказати, що прийме невідоме заздалегідь числове значення, тобто є випадковою величиною, що описується законом розподілу і відповідними числовими характеристиками. Вибірковою оцінкою невідомого параметра будемо називати довільну функцію

де — вибірка обсягом .

На практиці при дослідженні випадкової величини обсяги вибірки з генеральної сукупності майже завжди обмежені, що майже завжди пов’язано з дороговизною кожного досліду. На основі такого обмеженого матеріалу треба зробити висновки про закони розподілу, яким підлягають випадкові величини і їх параметри.

Для даного параметра може існувати багато вибіркових статистик, цілком придатних для того, щоб слугувати оцінками. Наприклад, кожна із статистик — середнє арифметичне, медіана, мода — може бути цілком прийнятною для оцінювання математичного очікування генеральної сукупності. Щоб вирішити, яка з пропонованих статистик “краща”, введемо такі властивості оцінок — незміщеність, ефективність і обґрунтованість (спроможність).

Оцінку параметра називають незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру , тобто ( . Ця властивість означає, що якщо користуватися незміщеною оцінкою, то в одних випадках можна завищити шуканий параметр, в інших — занизити.

Однак у середньому ми будемо “попадати в ціль”. Зміщеною називають оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює оцінюваному параметру.

Незміщену оцінку , що має найменшу вибіркову дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра , обчислених за вибірками того самого обсягу, називають ефективною оцінкою.

Оцінку параметра називають обґрунтованою, якщо при прямує за ймовірністю до . Останнє означає, що для будь-яких і існує таке , що при , маємо:

.

Твердження 1. Середня арифметична , яка обчислюється за незалежними спостереженнями над випадковою величиною , що має математичне очікування і дисперсію , тобто ; , є незміщеною і обґрунтованою оцінкою математичного сподівання.

Твердження 2. Якщо випадкова вибірка складається з незалежних спостережень над випадковою величиною , причому ; , то вибіркова дисперсія

є зміщеною обґрунтованою оцінкою генеральної дисперсії.

Тому в якості оцінки генеральної дисперсії беруть виправлену дисперсію

.

3. Побудова інтервалів надійності

Знайти статистичну оцінку параметра теоретичного розподілу – означає знайти функцію від спостережуваних випадкових величин, яка й дає наближене значення оцінюваного параметра.

Зокрема, для оцінки математичного сподівання нормального розподілу слугує середнє арифметичне значення спостережуваних значень ознаки , причому вибіркове середнє є точковою, незміщеною та ефективною оцінкою генеральної сукупності.

Інтервальною називається оцінка, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Нехай – статистична характеристика випадкової величини і – достатньо мале додатне число, яке назвемо точністю оцінки.

Надійністю оцінки за називається ймовірність , з якою виконується нерівність .

Рівність означає ймовірність того, що інтервал покриває невідомий параметр з імовірністю .

Інтервалом надійності називається інтервал , який покриває невідомий параметр із заданою надійністю .

1. Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому середньоквадратичному відхиленні знаходиться за формулою

, (16)

де − точність оцінки; – обсяг вибірки; – те значення аргументу функції Лапласа , при якому .

2. Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому середньоквадратичному відхиленні (обсяг вибірки ), знаходимо за формулою

, (17)

де − виправлене середньоквадратичне відхилення; знаходять за таблицею при заданих і .

Для оцінки середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини з надійністю за виправленим вибірковим середньоквадратичним відхиленням s слугує інтервал довір’я

(при ), (при ), (18)

де знаходять за таблицею (див. додатки) при заданих і .