1. Варіаційні ряди

Нехай вимірюється деяка фізична величина . Розміри замірів у кожному випадку можна розглядати як незалежні спостереження випадкової величини : . Якщо прилад, яким вимірюється ця фізична величина, не дає систематичних похибок, то . Таким чином, за незалежними спостереженнями можна оцінити невідомий параметр. У цьому випадку можна висунути гіпотезу про нормальний закон розподілу вибіркової сукупності. Перевірку гіпотези можна здійснювати за відомими критеріями узгодження, які гарантують з певною ймовірністю висновок про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Сукупність всіх можливих значень випадкової величини називають генеральною сукупністю. Генеральна сукупність може бути як скінченною, так і нескінченною.

Для того, щоб вибіркова сукупність несла найбільш важливі властивості генеральної сукупності, вибірка має бути репрезентативною (представницькою), тобто представляти реальний стан справ. У різних галузях виробництва напрацьовані свої методи встановлення репрезентативності вибірки.

Статистичний матеріал, отриманий у результаті спостережень, записують у вигляді простого варіаційного ряду, тобто таблиці, яка складається з двох рядків: у першому рядку записується номер спостереження , у другому – значення (варіанта) вимірюваної величини. Загальну кількість спостережень називають обсягом вибірки.

Коли значення варіанти повторюються, і статистичний матеріал великий за обсягом, варіаційний ряд зручно розміщувати у вигляді ранжированого варіаційного ряду, тобто таблиці, в якій в першому рядку записано значення ознаки в порядку зростання (спадання) , а в другому – частота відповідної варіанти або відносна частота відповідної варіанти .

Статистичний розподіл вибірки можна також записувати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот. За частоту інтервалу приймають суму частот варіант, які попадають у цей інтервал. Для варіанти, яка є на межі інтервалу, частоту ділять наполовину і вписують частину в попередній, а частину в наступний інтервал. Таблицю, в якій у першому рядку записані інтервали в порядку зростання (ці інтервали повинні накривати найбільше і найменше значення варіанти), а в другому – частоти або відносні частоти, називають інтервальним варіаційним рядом.

Інтервальний варіаційний ряд будують за даними спостережень ознаки, яка змінюється неперервно, а також ознаки, що змінюється дискретно, якщо обсяг вибірки достатньо великий.

Часто поряд з поняттям частоти використовують поняття накопиченої частоти , яка показує, у скількох спостереженнях ознака прийняла значення, менші від заданого.

При побудові інтервальних варіаційних рядів спочатку визначають величину інтервалу за формулою

, (1)

де і – відповідно найбільша та найменша варіанти, n – обсяг вибірки. Різницю в чисельнику формули (1) називають розмахом варіації.

Якщо h – дробове число, то за величину інтервалу беруть найближче ціле число, або найближчий нескладний дріб. Наприклад, при , що знайдене за формулою (1), у випадку великого розмаху варіації достатньо взяти ; для малого розмаху – величину інтервалу можна взяти .

У довільному випадку кількість інтервалів, що покривають найменше і найбільше значення варіанти, має бути близько , що є зручним для подальших досліджень варіаційного ряду (не варто будувати інтервальний ряд, наприклад зі інтервалами, оскільки це спричинює великі незручності для наступних досліджень його, а також – з двома, трьома інтервалами, бо це викликає великі похибки в наступних дослідженнях його та втрачається репрезентативність вибірки).

За початок першого інтервалу зручно взяти , початок другого інтервалу збігається з кінцем першого і дорівнює , початок третього інтервалу збігається з кінцем другого . Цей процес продовжують, поки початок наступного інтервалу не буде більшим від .

Частоту для кожного інтервалу (число значень, що належать -му інтервалу) визначають як кількість значень, що попадають в -й інтервал, причому ці значення можуть збігатися з нижньою межею інтервалу, але менші за верхню межу. Інколи визначають середини інтервалів, які виконують роль представників інтервалів . Відносні частоти та щільність відносних частот визначаються відповідно: ; .

Дискретний варіаційний ряд записують у вигляді таблиці: у першому рядку записують значення варіант у порядку зростання або спадання, а в другому – частоти або відносні частоти :

			…
			…

			…
			…

Н

_i

айпростішим графічним зображенням дискретного варіаційного ряду є полігон частот або полігон відносних частот – ламана, яка з’єднує точки, наведені в таблицях, відкладені в декартовій системі координат. На осі відкладають значення варіант , на осі – частоти або відносні частоти . Полігон відносних частот має вигляд.

Інтервальний варіаційний ряд зображається гістограмою. Це ступінчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами яких є інтервали варіаційного ряду довжиною , а висоти рівні частотам (відносним частотам) відповідного інтервалу. Інтервальний варіаційний ряд можна зображати і з допомогою полігонy. У цьому випадку інтервали замінюють їх серединами і до них відносять інтервальні частоти.

Характеристиками варіаційного ряду слугують перш за все середнє арифметичне, мода та медіана.

Середнє арифметичне варіаційного ряду обчислюють за формулою

. (2)

Якщо дані вибірки згруповані: варіанти записані в порядку зростання або спадання з відповідними частотами, то середнє арифметичне дорівнює

(3)

де – кількість груп, причому – обсяг вибірки.

Середню арифметичну, обчислену за формулою (3), називають зваженою.

Зауваження 1. Якщо початкові варіанти – великі числа, то при обчисленні вибіркової середньої зручно переходити до умовних варіант : , де – число, близьке до вибіркової середньої, взяте наближено. Тоді середнє значення вибірки знаходиться за формулою

. (4)

Зауваження 2. Якщо всі результати спостережень зменшити (збільшити) в одне і те ж число разів, то середнє арифметичне зменшиться (збільшиться) у стільки ж разів.

Із цих зауважень випливає, що середнє арифметичне часто зручно обчислювати не для безпосередньо, а для умовних варіант:

. (5)

Знайшовши середню арифметичну для варіант , легко обчислити середню арифметичну для початкового варіаційного ряду:

. (6)

Медіаною варіаційного ряду називають те значення ознаки, яке припадає на середину ранжированого ряду; її позначають . Якщо кількість спостережень непарна , то на середину ряду припадає , тому , якщо ж кількість спостережень парна , тоді на середину ранжированого ряду припадають два значення , тому

.

Для інтервального варіаційного ряду медіана визначається за формулою

, (7)

де початок медіанного інтервалу, тобто такого, якому відповідає перша з накопичених частот, рівна або більша від половини всіх спостережень; частота, накопичена до початку медіанного інтервалу; частота медіанного інтервалу.

Модою, для дискретного ряду, називається те значення варіанти, що має найбільшу частоту. Для інтервального варіаційного ряду моду визначають за формулою

(8)

де початок модального інтервалу, тобто такого, якому відповідає найбільша частота; – частота модального інтервалу; частота інтервалу, що передує модальному; частота інтервалу, наступного після модального.

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають , яка визначає для кожного значення відносну частоту події . Вона знаходиться за формулою

, (9)

де кількість варіант, що менші від ; – обсяг вибірки.

Властивості емпіричної функції розподілу:

1. , при ;

2. , при ;

3. – неспадна функція.

Наприклад, для дискретного варіаційного ряду

емпірична функція розподілу має вигляд

Виявляється, що за середнім арифметичним не можна судити про характер окремих відхилень від середньої величини. Часто важливо знати розмах коливань, тобто розмах варіації.

Варіаційний розмах – наближений показник варіації, оскільки він майже не залежить від зміни варіант, а крайні варіанти, які використовуються для його визначення, як правило, ненадійні.

Більш змістовними є характеристики, які оцінюють розсіювання значень випадкової величини навколо середнього арифметичного. Оскільки сума , то вона не може характеризувати варіацію, тому розглядають або модулі, або квадрати таких різниць.

Середнім лінійним відхиленням називають середню арифметичну абсолютних величин відхилень результатів спостережень від їх середньої

. (10)

Для згрупованих даних формула (10) набуває вигляду

. (11)

Вибіркова дисперсія визначається за формулою

. (12)

Для згрупованих даних дисперсія обчислюється так:

. (13)

Проте зручною для обчислення дисперсії є формула

. (14)

Замість дисперсії, за міру розсіювання спостережень навколо середньої арифметичної часто використовують середнє квадратичне відхилення, яке визначається за формулою

(15)

і має ту саму розмірність, що й значення ознаки.

Відносною характеристикою варіації значень ознаки навколо середнього значення є коефіцієнт варіації, який обчислюється як відношення величини середньоквадратичного відхилення до середнього арифметичного значення за формулою

, (16)

де − виправлена вибіркова дисперсія.

Зауваження 3. Для спрощення обчислень, дисперсію знаходять для варіант . Тоді дисперсію для вихідного ряду можна обчислити за формулою

. (17)

Крім середнього арифметичного у якості середніх статистик використовується ще мода і медіана.

Якщо розподіл має тільки одну вершину, то значення , для якого ця вершина досягається, є модою і позначається . Якщо розподіл не дуже асиметричний, то мода буде гарним наближенням “центра” генеральної сукупності. Якщо мода розподілу оцінюється за безліччю згрупованих даних, то для знаходження моди визначають групу з найбільшою частотою. Ця група називається модальною. Як моду беруть середнє значення цієї групи. Значення , для якого безлічі спостережень лежить лівіше цього значення, а — правіше, називається медіаною і позначається .

Приклади:

1. Знайти медіану вибірки {9, 3, 5, 8, 4, 11, 13).

Розв’язання. Запишемо ранжирований ряд 3,4, 5, 8, 9,11,13. Звідси .

2. Знайти медіану вибірки {1, 20, 9, 13, 4, 11}.

Розв’язання. Ранжирований ряд 1, 4, 9.11, 13, 20, звідки .

Для подальшого важливо відзначити один з наслідків центральної граничної теореми.

Твердження (наслідок з центральної граничної теореми). Якщо випадкова величина підпорядкована нормальному закону розподілу із параметрами , , а — ряд незалежних спостережень над , кожне з який має ті ж числові характеристики, що й , тобто ; то вибіркова середня також підпорядковується нормальному закону з параметрами , .