МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет будівництва Кафедра

та архітектури вищої математики

Факультет заочної освіти

Основи системного аналізу

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ,

аудиторні завдання,

індивідуальні завдання

для студентів напряму підготовки

промислове та цивільне будівництво

для студентів денної та заочної форм навчання

ЛЬВІВ 2013

Рекомендовано до друку

методичною радою факультету

будівництва та архітектури та методичною

радою факультету заочної освіти ЛНАУ

протоколи №1 від 3.09 та №2 від 27.09. 2012 р.

Автор: к. ф.-м. н., доцент Т. І. Бубняк

Рецензент: д. ф.-м. н., професор С. В. Мягкота

Видається в авторській редакції

© Львівський національний аграрний університет, 2013

ВСТУП

Системний аналіз – науковий метод пізнання, що являє собою послідовність дій з установлення структурних зв’язків між змінними або елементами досліджуваної системи. Він опирається на комплекс загальнонаукових, експериментальних, статистичних і загалом математичних методів.

Виробити єдину методику системного аналізу для різноманітних наукових досліджень важко, якщо взагалі можливо. У практиці досліджень системний аналіз застосовують використовуючи методики: 1) процедур теорії дослідження операцій, яка дає змогу дати кількісну оцінку об’єктам дослідження; 2) аналізу систем дослідження об’єктів в умовах невизначеності; 3) системотехніки, яка включає проектування і синтез складних систем та оцінює ефективність функціонування технологічних процесів.

При вирішенні складних виробничих завдань доводиться моделювати процес, абстрагуючись від мало впливових факторів, тобто будувати математичну модель подібної дещо спрощеної задачі, яка має розв’язок, що мало відрізняється від фактичного. Першочерговим завданням при побудові математичної моделі задачі є встановлення її класу, ступеня складності та конструктивних особливостей. Клас моделі визначається метою та специфікою задачі. Складність залежить від кількості врахованих факторів і характеру взаємозв’язків між ними.

Одним із основних напрямків моделювання є автоматизація процесу після постановки задачі та побудови формальної схеми. Використання комп’ютерної техніки, на стадії побудови моделі, дає змогу оцінити різні варіанти та вибрати найбільш адекватний до реальної схеми.

Аналіз виробництва певного виду продукції дає змогу вивчити, як правило, декілька технологічних способів отримання цього продукту з використанням різноманітних взаємозамінних засобів виробництва. Природно, що різні варіанти плану вимагають неоднакових затрат і несуть у кінцевому підсумку неоднаковий економічний ефект. Якщо є обмеження на ресурси, то кращим буде той варіант, який забезпечує при цих ресурсах найвищий економічний ефект. Якщо ж задано результат виробництва, то найбільш ефективним вважається той варіант, який вимагає найменших затрат для досягнення цього результату. Виявлення найбільш ефективного (оптимального) плану – досить непросте завдання.

Лекція 1-2 § 1. Наближені обчислення

При розв'язуванні прикладних задач важливо знати точність отриманого результату. Похибки які виникають в цих результатах обумовлені цілим рядом причин. Причому, наприклад похибки при заокругленні чисел, в процесі виконання великої кількості операцій накопичуються і породжують нові похибки що в кінцевому результаті може привести до суттєвих помилок у кінцевих результатах.

Простий приклад. Нехай необхідно знайти значення , де . Маємо . Припустимо що величини і обчислені з похибками: . Обчислимо . Таким чином, похибка при знаходженні величин і не перевищує 1% від точних значень, привела до десятикратного збільшення числа .

При застосуванні наближених методів розв’язування задач, наприклад методу послідовного наближення, точне значення шуканої величини можна отримати тільки після виконання нескінченної кількості кроків обчислень, що практично неможливо. Тому при виконанні скінченої кількості кроків, отримаємо наближені результати з похибками, які називаються залишковими. Часто в якості вихідних даних приймаються значення величин отримані із експерименту. В силу цілого ряду причин допускаються похибки вимірювання. Такі похибки називаються незліквідними. Коли неможливо розв’язати задачу точно, доводиться застосовувати наближені методи. Отримані результати містять похибки, характер яких залежить від використаного наближеного методу (похибка методу). Часто при вирішенні виробничих задач доводиться абстрагуватись від деяких факторів будуючи математичну модель задачі. Розв'язок реальної задачі не співпадає з розв'язом отриманим при розгляді її математичної моделі, навіть при застосуванні точних методів розв’язування. Виникаючі при цьому похибки називають похибками математичного моделювання.

Абсолютна і відносна похибки. Під абсолютною похибкою розуміємо модуль різниці між точним значенням величини і приблизним його значенням . За абсолютною похибкою важко оцінити міру розбіжності між точним та наближеним значенням. Так наприклад, похибка 1м повністю допустима при вимірюванні відстані між містами і недопустима

при вимірюванні кімнати. Тому вводять відносну похибку , або . Величини і можуть бути обчислені коли відомо не тільки наближене значення величини але й точне її значення. Проте, останнє можливе далеко не у всіх випадках. Часто доводиться аналізувати цілу множину однотипних наближених величин (наприклад розміри серії виготовлених деталей). В такому випадку вводяться поняття граничних абсолютної і відносної похибок. В якості граничної абсолютної (відносної) похибки ( ) наближеного числа можна взяти довільне число не менше абсолютної (відносної) похибки цього числа:

.

В якості граничних похибок ( ) беруть найбільші із отриманих значень і .

Задача. Глибина рідини в резервуарі вимірюється рейкою довжиною см. Знайти відносну похибку цього вимірювання, враховуючи те що рейка може бути опущена в резервуар не строго вертикально і при цьому кінець рейки на дні відхиляється на 10см від точки, яку вона займає при вертикальному положенні.

Розв’язання. Значення рівня може бути визначено із прямокутного трикутника, у якого гіпотенуза і один із катетів . Другий катет, який визначає фактичний рівень, дорівнює . Тут використаний розклад функції у ряд Маклорена (взято перші два члени розкладу). Відносна похибка результату вимірювання .

Можна взяти відносну похибку (у відсотках), наближено рівну .