Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

1.1.Елемнти теорії матриць та визначників

1.1.1. Поняття матриць. Види матриць

Прямокутна таблиця складена із довільного набору величин називається прямокутною матрицею. Величини, з яких складається матриця, називаються елементами матриці. Сукупність елементів, розміщених на горизонтальній (вертикальній) прямій складають рядок (стовпець) матриці.

Матриці позначаються великими латинськими літерами, а її елементи – малими латинськими з двома індексами, перший з яких вказує на номер рядка, а другий – на номер стовпця, на перетині яких цей елемент знаходиться.

Символічний добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають .

- матриця розміру .

Скорочене позначення матриці : .

Види матриць

1. Квадратна матриця – це матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців. Кількість рядків ( стовпців ) квадратної матриці називається її порядком.

Наприклад , - матриця 3-го порядку.

Елементи складають головну діагональ матриці, а елементи утворюють побічну діагональ матриці.

2. Нульова ( нуль-матриця ) – це матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

3. Діагональна – це квадратна матриця, всі елементи якої, крім діагональних, дорівнюють нулю.

Наприклад, - діагональна матриця 3-го порядку.

4. Одинична – це діагональна матриця, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці ( позначають Е ).

- одинична матриця 3-го порядку.

5. Матриця-рядок ( матриця-стовпець) – це матриця, яка складається з одного рядка ( стовпця )

Наприклад, - матриця-рядок,

- матриця-стовпець.

6. Трикутна – це матриця, в якої елементи, розміщені під головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

7. Якщо у матриці А замінити так, щоб 1-й рядок став першим стовпцем, 2-й рядок став другим стовпцем і т. д., то дістанемо матрицю, яка називається транспонованою відносно матриці А ( позначається ).

- матриця, транспонована відносно А.

Перехід від А до називається операцією транспонування.

1.1.2. Дії над матрицями

1. Додавання та віднімання матриць. Сумою ( різницею ) двох матриць і однакових розмірів називається матриця С такого самого розміру, кожен елемент якої дорівнює сумі ( різниці ) відповідних елементів матриць А і В тобто

, .

Приклад 1.1. Нехай , .

Знайти А-В.

Розв’язання

.

2. Множення матриць на число. Добутком матриці на число називається матриця , елементами якої є добутки відповідних елементів даної матриці на число , тобто

, .

Наприклад, якщо , то .

3. Множення матриць. Добутком матриць і з розмірами відповідно і називається матриця розміру , кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В , тобто

, .

Множити можна тільки узгоджені матриці, тобто ті, де число стовпців першої з матриць дорівнює числу рядків другої. Матриця-добуток при цьому матиме стільки рядків, скільки було у першій матриці, і стільки стовпців, скільки їх було у другій матриці.

Наприклад 1.2. Нехай , .

Знайти .

Розв’язання

.