§ 2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов
1)
,
где
- новая переменная.
Формула замены переменной при такой подстановке
.
2)
,
где
- монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной
.
Формула замены переменной в этом случае
имеет вид
.
Согласно этим подстановкам интегралы приводятся к табличным.
Примеры.
Найти
.
Решение:
примем за новую переменную
тогда, согласно формуле
получим
;
т.е.
и интеграл примет вид
.
Вернем
к старой переменной,
.
Найти:
Решение:
примем за новую переменную
;
тогда
.
Отсюда
;
,
подставим в интеграл
.
Задание 2
Найти интегралы с помощью замены переменной.
Вариант 1
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 2
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 3
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 4
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 5
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 6
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 7
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 8
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 9
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 10
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 11
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 12
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 13
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 14
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 15
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 16
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 17
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 18
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 19
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 20
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 21
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 22
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 23
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 24
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 25
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 26
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 27
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 28
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 29
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
Вариант 30
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
11)
