Рассчитаем характеристики данной передаточной функции.

Отношение выходной величины, выражение в комплексной форме:

х_вых(t) A_вых ^{j (вых- вх)}

------ ---------- = ------- e = W(j (8)

х_вх(t) A_вх

называется амплитудно- фазовой характеристикой ( АФХ) системы.

A _вых

Отношение амплитуд --------- является модулем АФХ, а разность фаз вых- вх является

A _вх

её фазой.

Для получения АФХ требуется заменить в передаточной функции W(р) переменную р на j.

Так АФХ имеет вид:

Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр

W(j= ---------------------------------- (9)

Ти (j

A вых

Обозначив ------ = W(j и вых- вх = (), получим:

A вх

j

W(j= W(jе (10)

Зависимость отношения амплитуд выходных и выходных колебаний от их частоты называется аплитудно- частотная характеристикой (АЧХ)

A вых

W(j= ------ (11)

A вх

Амплитудно- частотная характеристика является модулем АФХ

| Q(j

W(= | W(j|= -------- (12)

|P(j

Зависимость разности фазы выходных и входных колебаний от частоты называется фазо- частотной характеристикой (ФЧХ) системы.

()= вых- вх (13)

Q(j= Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр (14)

P(j= Ти (j (15)

Разделив оба полинома на действительную и мнимую часть получим

Q(j= RQ() + jIQ() (16)

P(j= RP() + jIP() (17)

где RQ()= 1- вещественная часть полинома Q(j

jIQ() = Кр Ти(j +Кр Тд(j+ Кр – мнимая часть полинома Q(j

RP()= 0- вещественная часть полинома P(j

IP()=Ти(j- мнимая часть полинома P(j

С учётом этих зависимостей АЧХ выразится как:

R²_Q ()+I²_Q()

W(= -------------------- (18)

Rp² ()+Ip² ()

Отсюда

1 + (К_р Т_и (j +К_р Т_д (j+ К_р )

W(= -------------------------------------------------

2

О + Ти (j

Амплитудно- фазовая характеристика

Q(j RQ()+IQ()

Wj= --------- = ------------------ (19)

P(j Rp ()+Ip ()

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на сопряжённый множитель RP() - jIQ(), получим: 2 2 2

( 1 + (Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр ) ) * ( 0 - Ти (j)

Wj= ----------------------------------------------------------- =

2 2

( 0 +Ти (j) * ( 0 +Ти (j)

(Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр ) * (Ти (j) 1

= ----------------------------------------------------- + j -------- (20)

2

( Ти (j) Ти (j

Обозначив:

(Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр ) * (Ти (j)

U ((21)

2

( Ти (j)

1

V(j---------- (22)

( Ти (j)

Имеем:

Wj= U ( + V( ( 23)



Величина U( называется вещественной частотной характеристикой системы. Величина V( называется мнимой частотной характеристикой системы.

2 2

А(= U ( + V(  (24) 

2

(Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр ) * (Ти (j) 1

А(= ------------------------------------------------------------ + j--------

2

( Ти (j) Ти (j

Найдём фазо- частотную характеристику:

V(

()= arctg ------ (25)

U(

Отсюда: 1

j ------

Ти (j

()= arctg ---------------------------------------------

(Кр Ти (j +Кр Тд (j+ Кр ) * (Ти (j)

-----------------------------------------------------------

2

Ти (j

Таким образом, получаем всего пять частотных характеристик: амплитудно- фазовая W(j), амплитудно- частотная W(), фазово- частотная (), вещественно частотная U ( и мнимая частотная V(