5.Логические законы и правила преобразования

ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Закон тождества.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

А=А

Закон противоречия.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А&A=0

Закон исключительного третьего.

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

AV =1

Закон двойного отрицания.

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

=A

Закон де Моргана:

&B

VB

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Закон коммутативности.

В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение	Логическое сложение
А&B=B&A	АVB=BVA

Закон ассоциативности.

Если в логическом выражении используются только операции логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение	Логическое сложение
(А&B)&C=A&(B&C)	(АVB)VC=AV(BVC)

Закон дистрибутивности.

В алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения относительно сложения	Дистрибутивность сложения относительно умножения
(А&B)V(A&C)=A&(BVC)	(АVB)&(AVC)=AV(B&C)

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

(A&B)V(A& )

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(A&B)V(A& )=A&(BV )

По закону исключенного третьего BVB=1, следовательно:

A&(BV )=A&=1

Преобразование логических выражений.

Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. в таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме. Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Пример 1. Упростить следующую логическую формулу:



Решение:

 =(AvB)&( )=(AvB)&(BvC)=(AvB)&Bv(AvB)&C=A&BvBvA&CvB&C=B&(Av1)vC&(AvB)=BvA&CvB&C=(B&(1vC)vA)&C=(BvA)&C.

Пример 2. Переведите к виду логической формулы высказывание: «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра».

Решение: определим следующие простые высказывания:

П – «пасмурная погода»; Д – «идет дождь»; В – «дует ветер».

Тогда соответствующее логическое выражение запишется так: П (Д<->В).

Пример 3. Кто из учеников A,B,C играет, а кто не играет в шахматы, известно следующее:

а) если А и В играет, то С не играет

б) если В не играет, то играют С и В;

в) С играет?

Решение. Определим следующие высказывания:

А- «ученик А играет в шахматы»;

В- «ученик В играет в шахматы»;

С- «ученик С играет в шахматы»;

D- «ученик D играет в шахматы»;

Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты: а) (AvB) C

б) B C&B

в) С

Запишем производные указанных сложных высказываний:

((AvB)->C)&( B C&D)&C

Упростим эту формулу:

((AvB)C)&( BC&D)&C=((¬(AvB)vC)&(BvC&D)&C=(¬(A&B)v¬C)&(BvC&D)&C=¬A&B&C&D=1

Отсюда А=0, В=0, С=1, D=1.

Ответ: в шахматы играют ученики C и D, а ученики А и В не играют.

Задачи и упражнения:

Задание №1.

Доказать справедливость первого &B и второго VB законов де Моргана, используя таблицы истинности.

Задание №2.

Упростить логическое выражения:

а) (AVA)&B;

б) A&(AVB)&(BV ).

Задание №3.

Упростите логическую формулу и определите ее истинность:

(AB)&(B (А&С))&(ВА).

Задание №4.

Определите значение формул:

((CvB) B)&(A&B) B;

((CvB) B)&(AvB) B.

Задание №5.

Заданы логические функции:

и

Необходимо упростить эти функции и проверить, являются ли они тождественными.

Задание №6.

Переведите на язык логических выражении следующие высказывания:

1. «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем время».

2. «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурная погода, то ребята пойдут в кино ».

3. «Наверное, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

4. «Если урок информатики будет интересным, то никто из школьников- Миша, Вика, Света – не будет смотреть в окно».

Задание №7.

Упростите логическое выражение:

1. (A&B)v( vB)v(СvB)

2. (A& )v(A&B)v(A& )

3. (A&B)v(A& )v( &C)

4. (AvB)&( vA)&(Cv )

5. ( &B)v(A&B)v(B& )

6. (B& )v(B&C)v(A&B)

7. (BvC)&(Bv )&(Av )

8. (Bv )v(B&C)v( &B)

9. (BvC)&( vC)& (Av )

10. (B&C)v(B& )v( &A)

11. (C& )v(C&B)v( &C)

12. (Cv )&(CvB)& ( vC)

13. (C&B)v(C& )v(A& )

Задание №8.

Три друга обсуждают истории Нового года и каждый сказал следующие:

• Празднование Нового года с 1 января установили во Франции в 45 году до Рождество Христова (Юлием Цезарем)

• Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 1659 году указом Карла IX.

• Празднование Нового года с 1 января установили во II веке и не французы

Оказавшийся рядом знаток истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предложений.

Где и какое время было установлено празднование Нового года с 1 января?

Задание №9.

На Новогодний праздник три друга- Евгений, Николай, Алексей, выбрали себе костюмы трех богатырей: Ильи Муромца, Алеши Поповича, Добрыни Никитича.

Известно что:

• Евгений- самый высокий.

• Выбравший костюм Добрыни Никитича меньше ростом, чеи выбравший костюм Ильи Муромца.

• Алексею не подошел костюм Добрыни Никитича.

• Ни у одного из друзей имя не соответствует с именем богатырей, выбранных костюмов.

Какой костюм выбрал каждый из друзей?

Задание №10.

Известно, что на одной двери надпись истина, а на другой ложь.

Если надпись на первой двери – «за этой дверью есть подарок», а на второй двери – «подарок за обоими дверьми», то:

1. Подарок за обоими дверьми;

2. Подарок только за второй двери;

3. Подарка нет ни за одной дверью;

4. Подарок только за первой дверью;

5. Определено место подарка установить нельзя.

6. Выберите правильный ответ.

Задание №11.

Руслан, Роман, Денис и Сергей заняли на олимпиаде по физике четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

Сергей-первый, Руслан-второй;

Сергей-второй, Руслан-третий;

Денис-второй, Руслан-четвертый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределить места?

Задание №12.

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Расматривая удивительную находку, каждый высказал по два предложения:

Алеша: «это сосуд греческий и изготовлен в 5 веке».

Боря: «это сосуд финикийский и изготовлен в 3 веке».

Гриша: «это сосуд не греческий и изготовлен в 4 веке».

Учитель историй сказал, что каждый из них прав только в одном из двух предложении.

Где и в каком веке изготовлен сосуд?