Множество b j не будет содержаться во множестве s, выбранном
жадным алгоритмом. Поэтому (S) < (B) = (A) . и тогда S не является множеством с максимальным весом. Если же не выполняется аксиома М2, то найдутся множества А J и B J такие, что А = k , B = k+1, и для любого e{B\A} будет иметь место {A {e}} J. Обозначим р = A B; р<k. Пусть 0 < ε < 1/(k-р) . Определим функцию так:
(e)=
Тогда жадный алгоритм сначала выберет все элементы множества А, затем во всех случаях отбросит элементы множества {B\A} .
Будет получено множество S с весом (S) = (A) = k(1+ε) которое не будет множеством максимального веса, т.к. вес B J равен
(B) = p(1+ ε) +(k+1- p) ·1 = k + p ε + 1=
=k + k ε - k ε + p ε +1 = k(1+ ε)+1- ε (k-p)
Поскольку ε < 1/(k-p) 1 – ε(k-p) > 0 , получаем:
(B) =k(1+ ε ) + 1 – ε(k - p) > k(1+ ε) = (S)
Теорема доказана.
Таким образом, мы установили, что если в задаче 9.3 (9.4) множество допустимых решений J является набором независимых множеств некоторого матроида <Е,J> , то эта задача легко решается GREEDY-алгоритмом.
Содержание
Введение. 3
1. Алгоритмы. 4
2. Класс Р и эффективные вычисления 7
3. Недетерминированные алгоритмы и класс NP 9
4. Класс NР- полных задач 12
5. Теорема Кука: первая NР- полная задача 14
6. Другие NР- полные задачи 21
7. Пример доказательства NР- полноты задачи, методом сведения 24
8. Список NР- полных задач. 27
9. Матроиды и жадные алгоритмы. 28
Список рекомендованной литературы.
1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. -М.: Мир,1982,416 с.
2. Компьютер и задачи выбора. / под ред. академика Ю.И. Журавлева. - М.: Наука, 1989, 207 с.
3. Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И. и др., -М.:Наука, 1990,384 с.
4. Липский В. Комбинаторика для программистов. -М.:Мир,1988, 214с.
5. Современное состояние теории исследования операций / под ред. академика Н.Н. Моисеева. -М.:Наука, 1979. 464 с.
6. Шоломов л.А. Основы теории дискретных логических и вычис-лительных устройств. М.:Наука,1980, 400 с.
7. Кук С.А. Сложность процедур вывода теорем //Кибернетический сборник, вып.12. М.:Мир,1975, с.5-15.
8. Карп Р.М. Сводимость комбинаторных задач //Кибернетический сборник, вып.12. М.:Мир,1975, с.16-38.
9. Левин А.А. Универсальные задачи перебора //Проблемы передачи информации, том 9, №3, 1975, с. 115-116.
10. Сапоженко А.А. Дизъюнктивные нормальные формы. Изд. МГУ, 1975 - 90с.