Введем вспомогательную функцию

Пустъ , если на шаге t, находясь в состояний ,

машина обозревает ячейку с номером s, в которой записан символ ,и смена состояния и записи в ячейке осуществляется в соответствии с программой, причем при отсутствии головки над ячейкой s

запись в этой ячейке не изменяется; в противном случае .

где выражение в квадратных скобках соответствует тому, что на шаге Т на ленте записаны символы (пусто) и 1, причем единица содержится не более чем в одной ячейке; сомножитель соответствует нахождению машины на шаге Т в состоянии ; последняя конъюнкция обеспечивает условие наличия в обозреваемой ячейке символа 1. '

Приведенные выше выражения позволяют заключить, что формула Ф = В & C & D & Е & F & G, является КНФ, если привести проме-жуточные эквивалентные преобразования:

Ф = 1 равносильно тому, что найдется такое допустимое, значение у, при котором машина, начав работу в конфигурации перейдёт в конфигурацию согласно тьюринговской программе полиномиаль-ной проверки.

Если задача z имеет положительный ответ, то для некоторого допустимого у выполнено R(x,y)=1. В этом случае, назначив

значения переменных на основе работы машины над начальной конфигурацией , получим набор, на котором Ф=1. Обратно, если существует набор, обращающий Ф в единицу, то значения переменных

в этом наборе определяют слово у , такое, что машина переводит в . Следовательно, задача z сведена к задаче выполнимости КНФ.

Очевидно, что длина записи формулы Ф при любом способе ее представления в виде слова над конечным алфавитом ограничена некоторым полиномом от размера входа задачи n, и сведение задачи z к задаче осуществимо за полиномиальное время.

Теорема полностью доказана.

6. Другие nр- полные задачи.

После открытия С. Куком «первой» NР- полной задачи стало воз-можным доказывать NР- полноту других задач, NР- полными оказа-

лись: задача выполнимости 3-КНФ , когда в выражении

каждая дизъюнкция может иметь не более трех членов, например:

задача о вершинном покрытии графа, о существовании гамильтонова цикла в графе, задача коммивояжера в экстремальной постановке, задача целочисленного линейного программирования, задача минимизации дизъюнктивной нормальной формы произвольной булевой функции, задача синтеза бинарного решающего дерева с минимальным числом листьев и многие другие [1].

Важно учитывать, что доказательство NР- полноты всегда произ-водится для любой исходной информации, допустимой для рассматри-

ваемой задачи. При этом вполне возможно, что для некоторых исходных данных задача окажется полиномиально разрешимой: известны разрешимые с полиномиальной сложностью частные случаи для задачи минимизации ДНФ монотонной булевой функции, задачи целочис-ленного линейного программирования и многие другие.

Задача называется NР- трудной, если к ней полиномиально сводится

какая-нибудь NР- полная задача. Класс всех NР- трудных задач обозначают NРН. Задача z  NРH по крайней мере так же трудна, как и любая задача из NР, но классу NР может не принадлежать.

Практическое применение теории NР- полных задач позволяет

при изучении каждой новой трудно решаемой задачи определить,

целесообразно ли продолжать отыскивать точный эффективный алго-

ритм ее решения. Для этого необходимо установить, принадлежит ли задача классу NРС или NPH. Если такая принадлежность имеет место, то, возможно, имеет смысл искать её приближенное решение, опреде-ляемое следующим образом. Пусть требуется найти экстремум функции f(x) при условии х  , Если -оптимальное решение, то

ε - приближенным называют любое решение х , удовлетворяющее неравенству

Практически важным является выделение подклассов задач из NРС. для которых нахождение ε - приближенных решений позволяет понизить сложность настолько, чтобы перевести решаемую задачу в класс Р. Существенной является и возможность работы с какой - либо одной задачей из NРС для изучения общих подходов к решению; часто в качестве таковой выбирают задачу коммивояжера, задачу минимизации ДНФ.

Теория NР - полных задач, как видно из изложенного выше, опе-рирует с задачами вычисления свойств. Поэтому нужно отметить при-менимость теории к дискретным оптимизационным задачам.

Если в оптимизационной задаче среди всех структур данного типа ищется структура, имеющая минимальную «стоимость» (например, среди всех маршрутов отыскивается маршрут минимальной длины, как в задаче коммивояжера), то этой задаче можно сопоставить задачу распоз-навания (вычисления) свойства, в котором в качестве дополнительного параметра фигурирует числовая граница В, а вопрос ставится о сущест-вовании структур данного типа, стоимость которых не превосходит В (например, маршрут длины не более В).

Задача распознавания не может быть сложнее соответствующей задачи оптимизации. Действительно, имея маршрут минимальной дли-ны и длину этого маршрута, для решения задачи распознавания свой-ства нужно только сравнить ее с заданной границей В. Поэтому если задача вычисления свойства , является NР-

полной, то и задача, по крайней мере, столь же сложна.

Если значения функции f(x) целочисленные и при (в этом случае функция принимает не более М - m+1 значений на множестве  ), то решить оптимизационную задачу можно путем повторения решения задачи вычисления свойства, выбирая границу В из целочисленного отрезка (m, M). Число шагов решения оптимизационной задачи при таком решении будет в константу раз больше числа шагов решения задачи вычисления свойства. Поэтому оптимизационная целочисленная задача относится к тому классу сложности, что и соот-ветствующая задача вычисления свойства.