5. Теорема Кука: первая nр - полная задача
Исторически первой задачей, для которой С. Куком [7] было дано доказательство NР - полноты, была задача выполнимости КНФ (конъюнктивной нормальной, формы). КНФ называется формула вида
(5.1)
Задача
выполнимости состоит в том, чтобы по
заданной КНФ узнать, обращается ли
реализуемая ею функция алгебры логики
в единицу хотя бы на одном наборе
значений переменных
.
Будем обозначать эту задачу
.
Теорема_5.1. (Сoоk s.A., 1971).
Задача выполнимости КНФ является NР- полной.
Доказательство:
Достаточно убедиться, что:
а)
и
б) что любая задача из NР полиномиально сводится к
а) Недетерминированный алгоритм, решающий задачу при длине КНФ, равной m, и числе переменных n, состоит в следующем::
-недетерминированным
оператором выбрать
;
- просмотреть в каждой из m скобок не более, чем n значений
литералов
и дать ответ «выполнима», если в каждой
скобке найдется хотя бы один литерал,
принимающий значение 1, иначе дать ответ
«не выполнима».
Очевидно, для этого недетерминированного алгоритма сложность
может быть оценена как o(mn) и является полиномиальной, поэтому
.
б) Покажем, что любая задача из NP полиномиально сводима к
.
Сначала отметим, что любая задача вычисления свойств может быть представлена следующим образом: по заданному объекту х, выяснить, существует ли объект у такой, что R(x,y)=1. В нашей задаче объект х - формула, а у - набор значений переменных. Свойство R(x,y) состоит в том, что на наборе у формула х выполнима. Любая задача из NP может быть сформулирована как задача вычисления свойства. Суть дальнейшего доказательства состоит в указании процедуры, которая для любого полиномиального недетерминированного алгоритма вычисления свойства (выходом которого являются ответы «истина» или «ложь») и для любой допустимой начальной информации такого алгоритма строит одно логическое выражение в виде КНФ, которое является выполнимым тогда и только тогда, когда алгоритм определяет ответ «истина», причем построение этого логического выражения из формального описания недетерминированного алгоритма и его входной информации можно выполнить за полиномиальное число шагов.
Построение этой процедуры выполняется в терминах алгоритмической системы Тьюринга.
Итак, произвольная задача z вычисления свойства R(x,y) из
класса NР может быть выполнена на НДМТ с полиномиальной проверкой, т.е. за число шагов, ограниченное полиномом от размера задачи l(х)+l(y) = n . Полиномиальной при этом будет и длина рабочей зоны ленты НДМТ Т = Р(n) P( , ) - некоторый полином, ячейки НДМТ обозначим целочисленными номерами .... -2, -1, 0,+1,+2, ... . Расположение начальной информации на ленте представлено на рис. 5.1. в ячейках с номерами 1,……,n
п
роизвольное
начало отсчета
-
…
-2
-1
0
1
2
…
n
…
начальная информация
Рис. 5.1
Вычисления
при любом допустимом значении объекта
у
происходят в зоне ленты [-Т, Т] и завершаются
не более чем за Т шагов (тактов работы
НДМТ). Машина начав работу в конфигурации
останавливается в конфигурации
, если свойство R(x
, y)
выполнено, и в
- в противнем случае.
Построим
КНФ Ф , такую, что любая задача
проверки (распознания) свойства - в общем
виде:
- полиномиально сводится к проверке выполнимости КНФ
Ф = В & C & D & Е & F & G,
где В, С, D, E, f, g - дизъюнкты, имеющие следующий смысл:
В = 1 на каждом шаге головка машины обозревает ровно одну ячейку ленты:
С = 1 в каждой ячейке на каждом шаге записан в точности один символ;
D = 1 на каждом шаге работы машина находится ровно в
одном состоянии;
Е = 1 начальная конфигурация машины имеет вид ;
F = 1 машина работает по тьюринговской программе;
G = 1 заключительная конфигурация машины имеет вид ,
если Р(х,у) = 1 .
Обозначим
,
-
внешний
и внутренний алфавиты НМДТ; t - шаги выполнения алгоритма,
;
s
- номера ячеек,
;
i и j - текущие номера символов алфавитов
А
и Q,
,
.
Введем следующие логические переменные:
,
если на шаге t, обозревая ячейку s,. машина
воспринимает символ с номером 1,
иначе эта переменная равна нулю;
,
если на шаге t машина находится в
состоянии с номером j ,
иначе эта переменная равна нулю.
,
если на шаге t головка машины обозревает
ячейку с
номером s, иначе эта переменная равна нулю.
Используя введенные логические переменные, можно записать в виде формул следующие логические условия;
на шаге t машина
обозревает хотя бы одну ячейку и при
этом
никакие
две одновременно, т. к.
Тогда
на шаге t
в ячейке s
записан ровно один символ. Тогда
на шаге t
машина находится ровно в одном состоянии.
Тогда
В
начальном положении (t=0)
головка машины обозревает ячейку с
номером 1 в состоянии q1, а в первых n -
ячейках записаны символы слова Х =
х(1)...х(n), за ним - разделительный знак
«*», после чего - слово Y
и далее - пустые ячейки. Выполнение такой
начальной конфигурации равносильно Е
= 1 , где
где - пустой символ.
Полиномиальная программа проверки свойства состоит из тьюринговских команд:
