24

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Кафедра № 301

ДИНАМИКА ИЗОЛИРОВАННОЙ ПОПУЛЯЦИИ.

Лабораторная работа № 2 по курсу «Экология»

для студентов 1 курса факультета №3

(ЭКОЛАБ12)

Составитель - проф., д.т.н. С.И.Рыбников

Утверждено на заседании кафедры №301

«_____»_______________2004 г.

МОСКВА, 2010

Содержание (модернизированный вариант). 02.08.10

Титульный лист. ………………………………………………………. Стр. 1

Содержание. ……………………………………………………………………. 2

Предисловие. …………………………………………………………………… 3

1. Введение.

Назначение лабораторной работы. Основные решаемые задачи. ……………. 4

2. Рабочие уравнения динамики популяции. ……………………………………….. 5

3. Исследование функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции,

фазового портрета популяции. ……………………………………………………. 6

Рекомендации (практические) и ограничения.

Описание программы EL12Maltus. ……………………………………………. 7

- оценка динамики популяции. ……………………………………………… 8

4. Исследование зависимости динамических свойств популяции. …………......... 9

- рекомендуемый порядок вычислительного эксперимента.

5. Анализ переходных процессов в популяции. …………………………………… 11

- рекомендуемый порядок анализа.

Описание программы EL12maltode. ……………………………………………. 11

Описание программы EL12grow (интегрирование уравнения (3) методом

Рунге-Кутта. ……………………………………………………………………….. 12

6. Анализ влияния наркотичности популяции на переходные процессы в ней . 13

Методика определения границы устойчивости популяции. ………………….. 15

7. Экспериментальное исследование чувствительности динамических свойств

популяции по отношению к вариациям ее параметров ( NChild(0), Narc(0),

Commun(0), QLife(0), Contest(0) ). ………………………………………………… 17

Показатели динамических свойств популяции ( N(пор.), N(ар.), N(m),

N’(m)=Nprime(m) ). ………………………………………………………………… 18

Перечень экспериментов:

- Эксперимент 0 (подготовительный).

Определение динамических свойств популяции при базовых значениях

ее параметров. .………………………………………………………………… 18

- Эксперимент 1.

Определение коэффициентов чувствительности динамических свойств

популяции по отношению к NChild. ……………………………………… 19

- Эксперимент 2.

Определение коэффициентов чувствительности динамических свойств

популяции по отношению к коэффициенту коммуникабельности Commun 19

- Эксперимент 3.

Определение коэффициентов чувствительности динамических свойств

популяции по отношению к коэффициенту качества жизни QLife. …... 19

- Эксперимент 4.

Определение коэффициентов чувствительности динамических свойств

популяции по отношению к коэффициенту конкурентности Contest. … 20

Приложения: программы и таблицы.

1. Приложение 1. Программа EL12Maltus. ………………………………………. 21

2. Приложение 2. Программа EL12Maltode. ……………………………………… 22

3. Приложение 3. Программа EL12grow. …………………………………………. 22

4. Приложение 4. Программа EL12narcborder. ………………………………….. 22

5. Приложение 5. Табл. 1 Данные вычислительных экспериментов. ………… 23

6. Приложение 6. Список обозначений. …………………………………………... 24

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сказка – ложь, да в ней – намек…

Математическое моделирование – та же ложь с намеком, только численная…

Действие работы Ecolab 12 происходит в островной стране Isolated Populations Land - IPL (Земле Изолированных Популяций).

Населен Isopopland членами единственной живущей на нем популяции – попчиками (popchicks).

Для удобства моделирования в Isopopland’е царят унитарные нравы. Население и трофические (пищевые) и иные ресурсы равномерно распределены по каждому острову («Весь покрытый зеленью, абсолютно весь..» - из гимна IPL), образующиеся семейные пары устойчивы («Только раз бывает в жизни встреча..» - из Конституции IPL), глобусом Изопопленда считается бильярдный шар и т.д.

Состоит Isopopland из хорошо изолированных островов, различающихся номерами, равными среднему числу детей у сложившихся семейных пар островитян.

Ясно, что на островах Land №1, Land №1,3 и тем более Land №0,6 попчики живут нескудно, но и не очень весело, постепенно вымирая. За разговорами о счастливой жизни будущих поколений попчиков они как-то забывают произвести их на свет.

Между тем, живущие повеселее, хотя и поскудне, попчики с островов Land №4,5, Land №5,(3) и соседних с ними уже подметили, что для того, чтобы попчики жили хорошо, для начала нужно, чтобы они жили.

Эмпирически они предвосхитили научные выводы студентов по одному из разделов лабораторки.

В нескольких цивилизациях - экспериментах попчики ведут вполне пристойное существование, развиваясь десятками поколений, доставляя пищу для немудреного студенческого анализа.

Но в одной из таких цивилизаций (явно нецивилизованной) введены коэффициенты наркотичности популяции, равные 0,1 и даже 0,2. И оказалось, что за время жизни нескольких поколений попчиков такой уровень наркотичности убивает от половины до 2/3 популяции. Стало ясно, что при любых мыслимых других условиях существования наркопопчики – практически бионегативные мутанты , жизненной перспективы у них нет.

Любой желающий (активно желающий) попч… ( я хотел сказать – студент) может сконструировать собственную виртуальную популяцию или даже цивилизацию в виде набора правил ее существования, уравнений и программ ее функционирования. Конкуренты поощряются.

С.Р.

1. Введение.

Назначение лабораторной работы, основные решаемые задачи.

Работа предназначена для первоначального ознакомления студентов с одной из основных задач математической экологии, а также с частными методами исследования динамических систем, применяемыми в экологии.

Она посвящена исследованию процессов роста и затухания хорошо перемешанной изолированной популяции живых существ.

Динамика популяции математически описывается нелинейным дифференциальным уравнением c эмпирически подобранными коэффициентами. Для его исследования применяются методы:

- фазовой плоскости,

- численного интегрирования,

- функций чувствительности.

Рассматривается математическая модель и элементы динамики изолированной популяции, при условиях пространственной однородности, то есть равномерного распределения по ареалу обитания, как самой популяции и всех ее характеристик (соотношения численности перекрывающихся во времени поколений и проч.), так и ее трофического (пищевого) ресурса.

Пусть:

- площадь ареала обитания популяции - S,

- численность популяции - n,

- величина численности, принимаемая за базовую, (например, начальная на момент начала

анализа) - n₀.

Примем в качестве характеристики численности популяции ее нормированную или относительную плотность в ареале, равную нормированной или относительной численности популяции N=(n/S)/(n₀ /S)=n/n₀.

Динамика популяции во времени t, измеряемом средним временем смены поколений, определяется ее законом роста dN/dt = F(N) и описывается дифференциальным уравнением вида:

F(N) = dN/dt = (B(N) – D(N))*N. (1)

Здесь B(N) и D(N) - соответственно, функции рождаемости и смертности.

Их разность

B(N) – D(N) = M(N) (2)

иногда называют мальтузианской функцией.

Для анализа динамики популяции задается вид функций рождаемости и смертности

в форме их зависимостей от относительной плотности популяции в ареале и учитываемых параметров популяции и условий ее существования.

Придав функциям рождаемости и смертности в популяции, а также условиям ее существования «человеческие» параметры, исполнители работы выясняют характер совместного и раздельного влияния параметров условий существования на характеристики роста и (или) затухания популяции.

В качестве этих параметров рассматривается

- среднее число детей в сложившихся семьях,

- уровень зараженности популяции практически неизлечимыми социальными болезнями

(коэффициент наркотичности),

- качество жизни и др.

Анализ динамики популяции выполняется поэтапно.

На первом этапе анализируется вид функций рождаемости B(N), смертности D(N), мальтузианской функции M(N), а также фазовый портрет динамики, который строится в координатах (N,Nprime = dN/dt).

Рассматриваемая здесь популяция при определенных ее параметрах имеет участки роста и затухания численности, а также увеличения и снижения темпа роста, разграниченные характерными точками:

- критическим порогом относительной плотности,

- относительной плотностью, при которой достигается максимальный темп роста,

- относительной емкостью ареала.

На втором этапе работы анализируются переходные процессы в популяции N(t) при ненулевых начальных условиях, рассматривается уровень, к которому стремится относительная плотность популяции и темп процесса.

На третьем этапе работы углубленно анализируется важнейшее параметрическое влияние уровня наркотичности популяции на характер процессов в ней.

На четвертом этапе работы оценивается чувствительность динамических характеристик популяции по отношению к ее параметрам.

Работа выполняется в среде МАТЛАБ, при этом используются знания и навыки, приобретенные при выполнении лабораторной работы № 1. Используются приведенные в приложениях программы.

Отчет о лабораторной работе должен включать в себя основные полученные исполнителями графики, таблицы, в которые удобно свести численные результаты, комментарии к ним, выводы по всем выполненным исследованиям.