13.7 Лаговые переменные и их использование пи построении уравнения регрессии(общие сведения).

Обычно на текущее значение зависимой переменной Y влияет не только текущее значение объясняющей переменной X. Это чаще всего соответствует в том случае, если используются пространственные выборки данных на один момент времени. При использовании данных временных рядов может исследовать в какой степени запаздывает влияние объяснительных переменных на результирующую переменную. Такое запаздывание называется Лаговой стр-ой, объясняется переменной.

Например: если исследователя интересует зависимость между расходами на жильё Y, располагаемость личными доходами X и индексом реальных цен на жильё P, то:

lny_t=α+β₁*lnx_t+β₂*lnp_t+U_t

Однако можно предположить, что люди более склонны соотносить свои расходы на жильё не стекущими доходами и ценами, а с предшествующими. В этом случае

lny_t=α׳+β₁׳*lnx_t+β₂׳*ln_p-1+U_t

кроме того можно утверждать, что расходы на жильё подвержены инерции и медленно согласовываться с изменениями доходов и цен. В связи с этим можно оценивать регрессию между lny и величинами lnx, lnp, взятые с запаздыванием на 2 периода или более. В общем случае запаздывание может быть X_t-1. В одном уравнении регрессии объясняющая переменная может присутствовать с различным периодом запаздывания. Спецификация запаздывания переменной (X) в модели называется лаговой структурой и структурой запаздывания

β₁lnx_t + β_tlnx_t-1 + β₃lnx_t-2 – лаговая структура.

14.1 Система линейных одновременных уравнений слоу (общие сведения)

При моделировании с использованием статистической информации часто необходимо отражать изучаемые процессы с помощью систем уравнений, в котором одни и те же переменные в различных уравнениях используются как объяснительные переменные. Такие системы принято называть СЛОУ

y₁=α+β₁x+β₂x₂+β₃y₂+U_i

{

y₂=j +β₄x₁+β₅y₁+U₂

В данные уравнения могут быть включены переменные не только текущего периода, но и переменные предшествующего периода

y_1t=α+β₁x_1t+β₂x_2t

{

y_2t=j +β₃x_1t+β₄y_1,t-1

Использование объясн. переменных в качестве объясняющих приводит к тому, что оценки параметров уравнения становятся смещенными => нельзя напрямую применить классический МНК.

Для примера рассмотрим простейшую кейнсианскую модель для замкнутой экономики.

C_t=α+βy_t+U_{t (2)} C_t - V потребления

{ y - V дохода

y_t=C_t+I_{t (3)} I – V инвестиций

С_t и y_t выступают в роли объясняемой и объясняющих переменных

y_t=α+βy_t+I_t+U_t

y_t=α/(1-β) + I_t/(1-β) + U_t/(1-β) (1)

Первые два слагаемых правой части показывают, что совокупный уровень доходов зависит от постоянной составляющей Vпотр и от Vинв. Если Vинв edtk yf 1? Nj cjukfcyj (1) Vдохода увел в k-раз больше – k=1/(1-β) , 0≤β≤1

мультипликатор

Кейнса

Если случайная составляющая по каким-либо причинам увеличится, т.е. увеличится Vпотр, это приведет к росту доходов в ещё большей пропорции и т.д. однако, если произойдёт снижение потребления, то это приведёт к лавинообразному снижению доходов. Таким образом величина y включает в себя случайную составляющую Ut/(1-β)

и автоматически коррелирует со случайной составляющей Ut. Это приводит к нарушению условий Гаусса-Маркова, а значит к смещению оценок параметров уравнения (2), найденное МНК. Это смещение для достаточно больших выборок определяется по следующей формуле: ∆β=(1-β)*σ_u²/(σ_i²+σ_u²), σ_u² дисперсия случайной составляющей, σ_i² дисперсия функции инвестиций

Т.к. 0≤β≤1, то (1-β)>0, а остальное положительное по определению, => смещение β будет положительно, т.е. возрастает. Чем > величина дисперсии случайной составляющей тем сильнее будет смещение.