10. Обобщенный мнк и его исп-ие для оценки эфф-ти методов определения параметров уравнения регрессии.

Под обобщенным МНК будем понимать м-д опред-ия пар-ов ур-ия регрессии, кот.предполагает предварительное преобразование исх.данных, т.о. чтобы устранить гетероск-сть и автокор-цию остатков.

Согласно Доугерти, оценки ур-ия регрессии будут иметь желательные для МНК св-ва, если для преобразования ур-ий исп-ся истинные значения коэф-та ρ (показ-ля авток-ции остатков) и если сохранено первое наблюдение.

Учитывая данное положение можно сказать, что м-д Карно-Оркатто и Прайса-Уинстона работает лучше чем обычные МНК только для больших выборок.

Точность оценок ур-ия регрессии, опред-ых МНК, во многом зависят от закона изменения факториального признака и эту зависимость исследовали Парк и Митчелл. В своих исслед-ях они брали ур-ие регрессии вида: , у кот.случ.составляющая имела авт-цию, подчиняется авторегрессионной схеме 1-го порядка:

В качестве исх. данных для каждого взято 3 вида зависимостей: 1. простоы временной тренд 2. ежегодные данные о ВНП США. В данной зав-сти на фоне случ.отклонений прослеживается опред.зависимость (слабый временной тренд) 3. ежегод.инф-ция о коэф-те исп-ния произв.мощностей США. В этой зависимости временной тренд отсутствует.

Случ.составл-ая генерируется генератором случ.цифр. Размер выборки = 20, и для кождой зависимости было сделано по 1000 экспериментов. Определялась относительная эфф-сть оценки как обратная величина отношения среднеквадратич. ошибки в эксперименте к соотв.ошибке при определении параметров с помощью обычного МНК. На основании повторного исслед-ия сделаны след.выводы: 1)выигрыш в эфф-сти, обеспечиваемый заменой обычного МНК на м-д Карнана-Оркатто (СО) или СО-PW (Прайс-Уинстон), то выигрыш в эфф-сти обеспечивается при наличии неярко выраженного тренда и большом значении ρ 2) в условиях сильного тренда, обычный МНК м.б.эфф-ым даже при высоких значениях ρ.

Исп-ие м-да СО в чистом виде значительно менее эфф-но, чем СО-PW когда данные подвержены сильному тренду. В этом сл.м-д СО работает хуже, чем обычный МНК, следовательно, всегда более целесообразно исп-ть м-д СО-PW, сохраняющий 1-ое наблюдение. Кроме того, исслед-ия показали, что при наличии авт-ции необх. исп-ть более высокие уровни значимости 0-гипотезы.

11.1.Фиктивные переменные для пространственных выборок и временных рядов.

Сравнительно часто отдельные факторы, кот.желательно ввести в модель явл.начальными по своей природе и ,след-но, не измер-ся в числовой шкале. Н-р, исслед-ся зав-сть м/д прод-тью получаемого образования и доходов и в выборке представлены лица муж. и жен.пола. Необх-мо выяснить обуславливает ли пол различия в рез-тах исслед-ния. Др.пример исслед-ые факторы, опр-ие инф-ию и в некот. годы изучаемого периода пр-во проводило политику регулирования доходов. Необх-мо выяснить, оказало ли это сущ-ое влияние на исслед-ую зав-сть. В каждом из этих примеров можно оценить отдельные ур-ия регрессии для двух категорий наблюдений, а затем сравнить полученные коэф-ты ур-ия регрессии. Др.подход закл.в нахождении единого ур-ия регрессии и исп-ем всей совок-ти данных и учетом степени влияния кач-ого фактора путем введения фиктивной переменной. Такой подход им. 2 преимущества: это простая проверка значимости кач-го фактора; оценки ур-ия регрессии будут более эффективными за счет увеличение числа наблюдений. Любой метод использования фиктивных переменных на примере регрессионного анализа влияния на вес новорожденных интенсивности курения матерей во время беременности. Наибольшая часть дисперсии веса новорожденного обуславливает генетической наследственностью ребенка и продолжительностью беременности. Курение объясняет очень малую часть всей дисперсии, но тем не менее является значимым фактором. Исследования показали, что при постоянных остальных факторов, курение 10 сигарет в день снижает вес новорожденного на 80 грамм, хотя данное снижение незначительно, но она показывает стат. устойчивое, неблагоприятное воздействие на вес новорожденного, а следовательно неблагоприятное воздействие на умственное развитие. В качестве отправной точки рассматривается модель вида: , где y – вес новорожденного в гр. x – количество сигарет в день, выкуренных матерью.

Оценка коэффициентов уравнения регрессии на базе информации о 967 родах показала, что y=3418-7,2x, т.е. ребенок, рожденных некурящей матерью в ср. будет иметь вес ≈ 3 кг 400 гр, а курящий – 7 гр на каждую сигарету.

Если положить угол наклона графика одинаково, то ур-ие можно записать: - ребенок, родившийся не первым.

Чтобы учесть оба случая, запишем ур-ие: D – фиктив.переменная

Если наблюдение касается первенца, то D=0, а если нет, то D=1. В этом сл.график выглядит:

для первенца, мать не курит = 3373гр.; не первенец, мать не курит = 3373-119; мать курит = 1сигарета – 78гр.

Стандартные ошибки коэф-ов при фиктивных переменных, рассчитываются с исп-ем ЭВМ, также как и станд.ошибки др.коэф-ов, исп-ся для проверки гипотез и построении доверительных интервалов. В частности определяется t – критерий Стьюдента, для чего производит деление коэф-та на станд.ошибку. Для учета пола ребенка ур-ие регрессии можно записать: , т.е. ввести 2 фиктив. переменные.

Первенец жен.пола: D₁=0, D₂=0

Не первенец муж.пола: D₁=1, D₂=1

Пример исп-ия фиктивных переменных с временным рядом.

В кач-ве примера рассм.спрос на автомобили в завис-ти от располагаемого дохода ур-ие регрессии запишем в сл.виде: ; y-спрос на авто; x-располаг.доход

Предполагается, что со временем доход растет. Проводится анализ с 1963 по 1983. В 1974 наблюдалось резкое снижение спроса на авто из-за повышения цены на бензин. (график)

Чтобы учесть в одном ур-ии:

Если δ считать отриц.величиной, то с 1963 по 1974г.,D=0; а с 1974 по 1983г., D=1.

Использование сезонных фиктивных переменных.

При исп-ии данных вр.рядов зачастую вместо годовых данных исп-ют квартальные пок-ли это позволяет существенно увеличить кол-во наблюдений. Однако на эти данные сущ-ое влияние оказ.сезонный фактор.Н-р, расходы потребителей на газ и электричество растут во времени(от года в год), но и изм.сущ-но от сезонов года. Для учета этого исп-ем след.ур-ие регрессии:

y- потребление (в руб.), t-время, D₂,D₃,D₄-фиктив переменные

За базовый период взят 1-ый квартал. В этом сл.все фиктив.переменные = 0

Если наблюдение относится ко 2-му кварталу, то D₂=1, D₃₌0, D₄=0

Если наблюдение относится ко 3-му кварталу, то D₃₌1, а ост. = 0

Если наблюдение относится ко 4-му кварталу, то D₂=0, D₃₌0, D₄=1

Обычно имеет отриц.значение. (график)

Это сезонное отражение изменения потребления газа и электричества за год.