Башкирский государственный педагогический университет
Насибуллов Х.Х.
Методическое пособие
Теория алгоритмов
Уфа - 2004
Содержание
Предисловие……...………………………………………………………………4
§1. Понятие алгоритма. Примеры. Способы задания. Общие свойства.
Необходимость математического уточнения понятия алгоритма…….…6
Понятие алгоритма…………………………..…………………………..6
Общие свойства алгоритмов…………………………………………...13
Способы задания алгоритмов……………………………………….....14
Необходимость уточнения понятия «алгоритм» ………………….…17
Контрольная работа №1……………………………………………….……....20
§2. Нормальный алгоритм Маркова……………………………….………. 24
2.1.Понятие ассоциативного исчисления…………………….……….….…..24
2.2. Нормальные алгоритмы Маркова…………………………………….….30
2.3. Вычисление арифметических функций с помощью нормальных
алгоритмов……………………………………………………………..……….32
Контрольная работа №2………………………………………………..….…..36
§3. Машины Тьюринга………………………………….……………...42
3.1. Описание машины Тьюринга…………………………………………….42
3.2. Вычисление числовых функций на машинах Тьюринга……………….48
3.3. Композиция машин Тьюринга………………………………………..….48
Вопросы для самоконтроля…………………………………….……..…...….50
§4. Сведение любого алгоритма к вычислению числовой функции.
Геделевская нумерация объектов ...................................................................51
4.1. Перевод из одного алфавита в другой (кодирование)………………….51
4.2. Нумерация пар и n-ок натуральных чисел…………………..…………..52
4.3. Сведение любого алгоритма к числовой функции. Метод Гёделя…….53
Вопросы для самоконтроля……………………..………………………..…....57
§5. Примитивно рекурсивные функции…………………..….……………..59
Вопросы для самоконтроля……………………………………………………68
§6.
Универсальная функция для
.
Существование вычислимых, но не примитивно
рекурсивных функций…………………………………………………………………………...…...69
Вопросы для самоконтроля………………………………………………..…..71
§7. Частично рекурсивные функции. Тезис Чёрча………………………...73
Вопросы для самоконтроля………………………………………………..…..80
Контрольная работа №3…………………………………..………...…………84
§8 Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества……………..…89
8.1. Рекурсивные множества………………………………………….……….89
8.2. Рекурсивно перечислимые множества………………………………..….91
Вопросы для самоконтроля……………………………………………..……..98
§9. Примеры неразрешимых и нерешенных проблем……………….….....99
9.1. Неразрешимые проблемы………………………………………….……..99
9.2. Нерешенные проблемы………………………………………………….103
Литература……………………………………………..………..….....106
Приложение…………………………………..……………………………..…107 Предисловие
Изложение многих вопросов математической логики и оснований математики требует у слушателя знания, по крайней мере, первоначальных сведений из теории алгоритмов. Именно этой необходимостью продиктован предлагаемый небольшой курс. Вместе с тем излагаемые здесь сведения представляют несомненный интерес и в плане общематематической подготовки, поскольку понятие алгоритма, наряду с такими понятиями как множество, функция и натуральное число, занимает в современной математике одно из центральных мест. Вот что писал в 1944 году по этому поводу Э.Пост: «Если понятие общерекурсивной функции действительно является формальным эквивалентом эффективной вычислимости, то формулировка этого понятия может сыграть в истории дискретной математики роль, уступающую по значению лишь формулировке понятия натурального числа».
С тех пор прошло более полувека – небольшой срок для математики – однако, и за это время высказывание Поста приобрело реальную почву: математическая логика и теория алгоритмов стали инструментом для исследования в основаниях математики, легли в основу создания и эксплуатации ЭВМ, стал и составной частью информатики. Теория алгоритмов изучается в вузах.
Первый параграф знакомит читателя с неформальным понятием алгоритма, описательной и графической формой задания алгоритмов на примерах, общими свойствами алгоритмов. Во втором параграфе излагается понятие ассоциативного исчисления и на его основе – понятие нормального алгоритма Маркова. Третий параграф посвящен описанию машин Тьюринга.
В случае, когда читатель не располагает достаточным временем, параграфы 2 и 3 могут быть без ущерба для понимания опущены.
В §4 излагается возможность сведения любого алгоритма к вычислению числовой функции, а параграфы 5,6 и 7 посвящены изучению свойств вычислимых функций.
В §8 изучаются свойства рекурсивных и рекурсивно перечислимых множеств, и на их базе приводятся примеры неразрешимых проблем. Пособие завершается перечнем некоторых нерешённых математических проблем.
В конце каждого параграфа приводится перечень задач с образцами решения, что позволяет читателю проверить уровень понимания изученного материала. Во многих местах, в целях доступности материала широкому кругу читателей, объяснение предельно упрощается. По той же причине некоторые факты приводятся без доказательства. Для более глубокого и детального изучения теории алгоритмов имеются несколько монографий. Заинтересованному читателю мы рекомендуем, прежде всего, такие как [6],[11] или [9].