Cвойства обратных матриц

            Укажем следующие свойства обратных матриц:

1)      (A^-1)^-1 = A;

 

                                                             2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

                                                            

                                                             3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример.  Дана матрица А = , найти А³.

А² = АА = =;A³ = = .

 

            Отметим, что матрицы иявляются перестановочными.

 

            Пример.    Вычислить определитель .

 

= -1

 

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

 

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

 

5

Ранг матрицы

Определение. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор порядка r,

r<= min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг матрицы.

            Очень важным свойством элементарных преобразований  матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

            1) умножение строки на число, отличное от нуля;

            2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

            3) перестановка строк;

            4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

            5) транспонирование;

            Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

. РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ЧИСЛУ ЕЕ СТРОК

7

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.

Обозначается x= (x₁, x₂, ...,x_n);

числа x₁, x₂, ..., x_n называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:

для любых x= (x₁, x₂, ...,x_n),y= (y₁, y₂, ...,y_n) и любого числа α справедливо:

x+y= (x₁+y₁, x₂ +y₂, ...,x_n+y_n); αx= (αx₁, αx₂, ..., αx_n).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.

Вектор θ= (0, 0, ..., 0) называетсянулевым векторомRn,

а вектор −x= (−x₁, −x₂, ...,−x_n) —противоположнымвектором для вектораx в Rn.

Для любых векторов x,yиz изRnи любых чисел α и β справедливо:

1. x+y=x+y, сложение коммутативно;

2. x+ (y+z) = (x+y)+z, сложение ассоциативно;

3. x+θ=x;

4. x+ (−x) =θ;

5. α(x+y) = αx+ αy, умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

6. α(βx) = (αβ)x, умножение на число ассоциативно;

7. (α + β)x= αx+ βx, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. 1·x=x.

Пространство Rn− n-мерноевекторное пространство, dimRn=n.

Если в пространстве Rnопределенестественный базисe₁,e₂, ...e_n ,

e₁= (1, 0, 0,..., 0, 0),e₂= (0, 1, 0,..., 0, 0), ...,e_n-1= (0, 0, 0,..., 1, 0),e_n= (0, 0, 0,..., 0, 1),

то компоненты вектора x= (x₁, x₂, ...,x_n) изRnявляются координатамивектораxв естественном базисеe₁,e₂, ...e_n:

x = (x₁, x₂, ..., x_n) = x₁e₁+ x₂e₂+ ...+ x_ne_n.

Всякое конечномерное n-мерное линейное пространство изоморфнопространству арифметических векторов Rn.

Пример

L− множество 6-мерных арифметических векторов, у которых чётные коомпоненты равны нулю,{x=(x₁, 0, x₂, 0, x₅, 0 )}− трёхмерное линейное пространство, изоморфное пространству арифметических векторовR₃.

Действительно.

Как видно из приведенных выше соотношений, множество L− трёхмерное линейное пространство (три вектораe₁,e₂иe₃образуют базис), изоморфное пространству трёхмерных арифметических векторовR₃.

7-8Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Система называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел, при котором выполняется соотношение: k1A1+k2A2+…knAn *≠0.Система А1 – An линейно зависима, если хотя бы один из векторов разлагается по остальным векторам этой системы.Система A1 – An линейно зависима, если n>m.

Система называется линейно независимой, если соотношение равно нулю тогда и только тогда, когда k-k1 – нулевой набор чисел.

Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейно независима.

Диагональная система линейно независима

Если вектор An не разлагается по системе векторов A1 – An-1, то вся система A1 – An линейно независима.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. # Любая система векторов является либо зависимой, либо независимой; # Если часть системы A1 – An линейно зависима, то и вся система линейно зависима. # Если часть системы A1 – An линейно независима, то и вся система линейно независима. # Если система A1 – An линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы разлагается по остальным векторам. # Если система векторов A1 – An линейно зависима, и её часть A1 – An-1 ¬¬линейно независима, то вектор An разлагается по системе A1 – An.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Условие линейной зависимости векторов.

Определение. Система векторов изRⁿ линейно называется линейно независимой, если из следует равенство нулю всех коэффициентов.

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Теорема. Система векторов изRⁿ линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов изRⁿ линейно выражается через остальные векторы системы.

8

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.

В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса :

1. Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.

2. Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.

3. Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.

10