4.2. Расчет амплитудно-частотной характеристики пьезопреобразователя

Д

Рис. 4.7. Пьезопреобразователь с демпфером и согласующим четвертьволновым слоем, нагруженный на биологическую жидкость или мягкие ткани

ля решения задачи расчета амплитудно-частотной характеристики пьезопреобразователя рассмотрим следующую схему (рис. 4.7). Пусть имеется пьезоэлемент 2, который нагружен через согласующий четвертьволновый слой 3 на исследуемую среду. В качестве таковой будем подразумевать мягкие ткани организма или биологическую жидкость. С тыльной стороны пьезоэлемент имеет демпфер 1. Для идеализации задачи будем считать демпфер полубесконечным. Пусть , и – удельные акустические сопротивления керамики, демпфера и согласующего слоя соответственно. Волновой размер пьезокерамики , а слоя – . ^{Поскольку согласующий слой четвертьволновый, то .}

^{Пусть наш излучатель возбуждается электрическим напряжением U(t). На рис. 4.8 изображена эквивалентная схема описанного преобразователя [7]. Обозначим на схеме входное сопротивление согласующего слоя, нагруженного на среду, через Z. Тогда мы можем считать, что пьезоэлемент нагружен с одной стороны на , а с другой – на Z. Введем в рассмотрение токи и , которые на рис. 4.8 изображены стрелками.}

^{Определим ток , который протекает через Z, т. е. ток на "входе" согласующего слоя. Используя метод контурных токов, мы можем записать следующие уравнения:}

Рис. 4.8. Эквивалентная схема излучателя

^{Преобразуем сумму двух первых слагаемых в первом уравнении:}

.

Преобразуем член , учитывая, что и :

.

^{Учтем, что , тогда}

.

C учетом того, что , т. е. , получим:

,

где – квадрат коэффициента электромеханической связи.

^{Уравнения контурных токов теперь можно переписать в следующем виде:}

Из этой системы уравнений определяем ток : , где

.

Далее определим коэффициент передачи слоя по току (т. е. по колебательной скорости). Эквивалентная схема слоя представлена на рис. 4.9. Здесь приняты следующие обозначения:

Рис. 4.9. Эквивалентная схема слоя

.

^{Токи в различных ветвях схемы обозначены через и . В параллельных ветвях схемы токи относятся следующим образом: , кроме этого . Тогда коэффициент передачи слоя по току}

.

^{Подставляя значения и и производя простые тригонометрические преобразования, получаем: . В этом случае частотная зависимость колебательной скорости примет вид}

.

^{В данное выражение входит , которое содержит Z (входное сопротивление слоя, нагруженного на ). Его необходимо определить. Для этого вновь обратимся к рис. 4.9, из которого следует:}

.

^{Если подставить в данное выражение значения сопротивлений , , и осуществить некоторые тригонометрические преобразования, то можно получить, что входное сопротивление слоя, нагруженного на ,}

.

Т

Рис. 4.10. АЧХ излучателя, нагруженного на мягкие ткани: 1 – пластина с согласующим четвертьволновым слоем; 2 – "голая" пластина

еперь колебательная скорость v полностью определена. Пользуясь выражением , можно рассчитать амплитудно-частотную характеристику рассматриваемого излучателя.

^{В качестве примера расчета АЧХ излучателя на рис. 4.10 приведены две амплитудно-частотные характеристики пьезопластины из пьезокварца X‑среза, которая через согласующий четвертьволновый слой нагружена на водоподобную среду (мягкие ткани), причем , т. е. демпфер отсутствует [8]. По оси абсцисс отложены значения безразмерной частоты , где – частота резонанса. По оси ординат отложены нормирован­ные значения колебательной скорости. Кривая 1 соответствует случаю, когда пластина имеет согласующий слой с = 4,85  106 (Пас)/м, кривая 2 описывает АЧХ "голой" пластины, т. е. не имеющей ни согласующего слоя, ни демпфера. Ширина полосы пропускания для двух случаев равна 53 и 7% соответственно, т. е. "голая" пластина имеет полосу примерно в 7,5 раза меньше, чем аналогичная пластина, но с согласующим слоем.}