7. Полный дифференциал (определение, форма, геометрический смысл).

Полный дифференциал

        функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение

         

        в случае, когда оно отличается от полного приращения

         Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

        на величину, бесконечно малую по сравнению с

         

8. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)   и  , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная   обозначается через   или  , а   через   или  . Таким образом,

, 

и, аналогично,

,  .

Производные   и   называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка:  ,  ,   и т. д.

9. Определение точки максимума и минимума функции Z=f(x,y).

10. Необходимый признак экстремума функции Z=f(x,y). Достаточный признак экстремума.

§5. Экстремум функции двух переменных

Пусть функция   определена в некоторой области G и точка  . Функция   имеет в точке   максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек   этой окрестности, отличных от  , выполняется неравенство  . Аналогично определяется минимум функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если  –точка экстремума функции  , то частные производные   и   в этой точке равны нулю или не существуют. Точки, в которых частные производные   и   обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции. Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума. Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку  , функция   имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и  . Обозначим:  . Тогда 1)если  , то функция имеет экстремум в точке  , причем это максимум, если   и минимум, если  ; 2)если  , то экстремума в точке   нет; 3)если  , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке   может быть или не быть).

11. Определение производной функции U=U(x,y,z) по заданному направлению в данной точке. Формула для вычисления.

Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z).

 Проведем через точки М и М1 вектор  . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора  .

 Расстояние между точками М и М1 на векторе   обозначим S. Абсолютный экстремум ФНП Допустимая точка   называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП  ,   в задаче (*), если  выполняется условие:      или    .

 

  Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

 

 

 Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при  .

  Из геометрических соображений очевидно:

  Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

  Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора  .

 Из этого уравнения следует следующее определение:

  Определение: Предел   называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора   в точке с координатами ( x, y, z).

12. Градиент функции U=U(x,y,z). Связь градиента с производной по направлению, свойства градиента.

Градиентом функции многих переменных в данной точке называется вектор, координаты которого равны частным производным по соответствующим аргументам, вычисленным в данной точке.

.

    Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная   по направлению некоторого вектора   равняется проекции вектора gradu на вектор  .

1. Производная в данной точке по направлению вектора   имеет наибольшее значение, если направление вектора   совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно  .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору  , равна нулю.