4.1.5. Средняя квадратическая:
- невзвешенная
- взвешенная
4.1.6. Средняя кубическая:
-
невзвешенная
- взвешенная ,
где: - i-й вариант осредняемого признака;
n - объем совокупности;
- вес i-го варианта.
Основная область применения - расчет показателей вариации, взаимосвязи, структурных изменений, асимметрии.
4.1.7. Общий вид степенной средней величины:
, где:
k– показатель степени.
Данной степенной системой показателей могут быть представлены средние арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая и другие средние.
С изменением показателя степени «k» выражение данной функции меняется, и, в каждом отдельном случае, приходим к определенному виду средней:
при к=1
-
=
- средняя арифметическая,
при к=-1
-
- средняя гармоническая.
при к=
0 -
- средняя геометрическая,
при к=2
-
- средняя квадратическая
и т.д. для любой степени.
Степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени «К», тем больше и величина соответствующей средней:
Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.
4.2. Структурные характеристики ряда распределения
К структурным характеристикам ряда распределения относят медиану и моду. Они не зависят от крайних значений вариантов, поэтому применяются для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.
4.2.1. Медиана (Me) - это значение признака, приходящееся на середину упорядоченной совокупности.
Её используют
как наиболее надежный показатель
типичного значения признака в неоднородной
совокупности (включающей резкие
отклонения от
).
Медиана находит широкое практическое применение также вследствие особого математического свойства: сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:
Медиана (Ме) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.
Положение медианы определяется ее номером по формуле:
N
=
,
где:
n – число единиц в совокупности.
Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.
Численное значение медианы для интервального ряда определяется по формуле:
,
где:
— нижняя граница
интервала, в котором находится медиана;
—
величина интервала;
—
сумма накопленных
частот интервалов, предшествующих
интервалу, в котором находится медиана;
— частота интервала,
в котором находится медиана.
4.2.2. Мода (Мо) – это варианта, соответствующая наибольшей частоте или варианте, которая встречается наибольшее количество раз.
В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте (f) или частости.
В интервальном ряду модальный интервал определяется по наибольшей частоте, т.е. это тот интервал, который имеет наибольшую частоту, а конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле:
Мо
= х0
+ i
, где:
Х0 –нижняя граница модального интервала,
i - величина модального интервала,
fM
,
fM
,
fM
- частоты
(частости) модального, предмодального
и послемодального интервалов.
Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды.
Если две несоседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называют бимодальным; если таких вариант больше двух, то ряд – полимодальный.
Мода так же, как и медиана, не требует знания всех индивидуальных значений признака и поэтому может быть использована в качестве наиболее типичного значения признака в неоднородной совокупности.
На практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее, наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, главное из которых – точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.