Пример 4.5

Груз массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке АВ скоростью груз в точке В переходит на движение по участку ВС. На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила F, направленная по линии движения груза (ось X) и сила трения скольжения. Коэффициент трения f. Найти закон движения груза на участке ВС (рис. 4.7).

Рис.4.7

Дано: m=1,6 кг, V₀=18 м/с, Q=4 Н, R=0,4V Н,

t₁=2 с, f=0,2, F=4cos (4t) Н

Определить: закон движения на участке ВС, т.е. x=f(t)

Решение

1.Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и .

Проведем ось АZ по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.

(1)

Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.

Для сокращения записи подставим числовые значения:

Разделим переменные и проинтегрируем:

(2)

Определим постоянную интегрирования С₁ по начальным условиям:

t = 0, V_Z0=18 м/с.

Подставим эти значения переменных в уравнение (2):

Уравнение (2) примет вид:

Преобразуем уравнение:

Из равенства логарифмов

Скорость в точке В, для которой t=2с, получим:

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила .

Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось X:

(3)

Определим силу трения:

Для определения силы N запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось Y .

Так как при движении тела вдоль оси X координата Y не изменяется (т.е. Y=const), то и, следовательно, .

Запишем это равенство в соответствии со схемой сил

N-P=0, откуда N=P=mg; F_тр=fmg.

Уравнение (3) примет вид

Разделим переменные и проинтегрируем:

(4)

Начальные условия для участка ВС: t=0, V_X=V_B=6,95 м/с.

Подставим начальные условия в уравнение (4) 6,95=С₂

Учитывая, что и С₂=6,95, уравнение (4) примет вид:

(5)

Определяем С₃ из начальных условий: t=0, X₀=0

0=-0,156+С₃; С₃=0,156

Окончательно уравнение примет вид

Ответ: Закон движения груза на участке ВС

Пример 4.6

Однородный стержень длиной ℓ, массой m прикреплен под углом α к вертикальному валу (рис.4.8), вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω═const. Вал закреплен в подпятнике А и в цилиндрическом подшипнике В. Отрезки АК=КВ=а. Определить реакции связей балки.

Дано: m, ℓ, а, α, ω═const

Определить реакции связей А и В.

Решение.

С троим расчетную схему.

П рименим для решения принцип Даламбера. Изобразим действующие на систему силы: силу тяжести , реакции связей силы инерции элементов однородного стержня. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , где r_K- расстояние элементов стержня от оси вращения. Силы инерции элементов стержня направлены от оси вращения и численно равны

Рис.4.8

Э

Рис.4.8

Рис.4.8

пюра сил инерции элементов стержня образует треугольник.

Полученную систему параллельных сил заменим равнодействующей, равной главному вектору этих сил.

,

где - вектор ускорения центра масс стержня

Линия действия равнодействующей должна проходить через центр тяжести эпюры сил инерции.

Центр тяжести треугольника находится на расстоянии 2/3 его высоты от вершины (или 1/3 от основания).

Таким образом, равнодействующая сила инерции стержня численно равна

Вектор силы приложен в т. Д, находящейся на расстоянии 2/3ℓ от точки К.

Полученная система сил уравновешена.

; , (1)

; (2)

; (3)

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (2): Y_A=P=mg.

Из уравнения (3):

.

Из уравнения (1)

Ответ:

Пример 4.7

Для заданной схемы нагружения стержня постоянного сечения ( рис.4.9 )при F=5,0 кН

1) – построить эпюры внутренних сил;

- построить в общем виде эпюры напряжений;

- определить опасный участок;

- из условия прочности (_max = ) = 120 МПа определить размер сечения;

- определить напряжения на участках стержня и построить эпюры напряжений стержня.

2) определить размеры равнопрочного стержня и экономию материала при равнопрочном стержне.

Рис.4.9

Решение.

1. Разбиваем стержень на три участка: A׳B, BC, CD.

2. Определяем внутренние силы на каждом участке стержня.

N₁ = N_(AB) =F = 5,0 kH

N₂ = N_(BC) = F-1,5F = -2,5 kH

N₃ = N_(CD) = F-1,5F+1,2F = 0,7F = 3,5kH

3. Определяем напряжения на каждом участке.

₍₁₎ =

_(II) =

_(III) =

4. Определяем опасный участок.

Опасный участок АВ, где действует сила N₁=N_max=F=5,0 kH

5. Из условия прочности определим площадь сечения.

Принимаем А= 50 мм²

6. Определяем численные значения напряжений

₍₁₎=

₍₂₎=

₍₃₎=

По полученным данным строим эпюру напряжений

7. Определяем перемещения на участках стержня

Е- модуль продольной упругости, Е= 210⁵ МПа (для стали)

По полученным данным строим эпюру перемещений.

8. По полученным данным определяем размеры сечений равнопрочного стержня, у которого напряжения на каждом участке _i=, i = 1,2,3.

9. Определяем экономию материала в равнопрочном стержне.

Вес стержня с постоянным сечением,  - удельный вес.

Вес равнопрочного стержня.