Лабораторная работа № 7 Кривые второго порядка на плоскости

Вопросы по теме

1. Приведите общее уравнение кривой второго порядка.

2. Перечислите типы кривых второго порядка.

3. Приведите примеры вырожденных кривых.

4. Дайте определение окружности. Приведите каноническое, уравнение окружности. Поясните смысл параметров этого уравнения.

5. Дайте определение эллипса. Приведите каноническое уравнение эллипса. Поясните смысл параметров этого уравнения.

6. Дайте определение гиперболы. Приведите каноническое уравнение гиперболы. Поясните смысл параметров этого уравнения.

7. Дайте определение параболы. Приведите каноническое уравнение параболы. Поясните смысл параметров этого уравнения.

Общие сведения

Кривой второго порядка на плоскости называется множество точек, удовлетворяющих уравнению

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey +F=0

В этом уравнении A, B, C, D, E, F– заданные числа – параметры уравнения, для которых выполняется условие , x, y–координаты точки на плоскости.

Уравнение называют общим уравнением кривой второго порядка. В этом уравнении выражение Ax²+Bxy+Cy² является квадратичной формой и определяет тип кривой.

Различают три типа кривых второго порядка: эллиптический; гиперболический; параболический.

При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) в точку, для гиперболы в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Канонические уравнения:

• окружности x²+y²=R², центр окружности в начале координат, параметр R – радиус окружности;

• эллипса , центр симметрии эллипса – в начале координат, оси симметрии – вдоль осей координат, параметры a и b – длина посуосей эллипса;

• гиперболы , центр симметрии гиперболы – в начале координат, оси симметрии – вдоль осей координат, параметры a – длина действительной посуоси и b длина мнимой посуоси гиперболы;

• параболы y²=2px, вершина параболы – в начале координат, ось симметрии – вдоль оси Ox, параметр p – расстояние от вершины до фокуса.

Примеры решения задач

1. Определить тип кривой и привести уравнение

–3x²–3y²–14xy+50x+10y +100=0 к каноническому виду.

Решение.

Рассмотрим квадратичную форму –3x²–3y²–14xy и её матрицу

(см. практическое занятие №12).

С помощью MathCad найдём матрицу , столбцы которой являются ортонормированными собственными векторами матрицы A:

Введём замену переменных:

.

В новых переменных левая часть уравнения

–3x²–3y²–14xy+50x+10y +100=0

примет вид: λ₁u²+ λ₂v²+b₁u+ b₂v+a₀.

Выполним переход к новым переменным в MathCad:

В нашем примере , , , .

Сделаем ещё одну замену переменных: , .

Выполним переход к новым переменным в MathCad:

В результате получили уравнение вида λ₁t²+ λ₂τ²+c₀=0.

В нашем случае –10t²+ 4τ²+95=0, т.е. c₀=95.

Приведём классификацию кривых второго порядка.

а) λ₁t²+ λ₂τ²+c₀=0, где λ₁∙λ₂≠0.

λ1∙λ2	с0 λ1	Вид кривой
>0	<0	эллипс
>0	>0	мнимый эллипс
>0	0	точка
<0	≠0	гипербола
<0	0	пара пересекающихся прямых

б) λ₁t²+ b₂τ+a₀=0, где λ₁∙λ₂=0.

b2	a0 λ1	Вид кривой
≠0	любое	парабола
0	<0	пара прямых, параллельных оси τ
0	0	ось τ
0	>0	пара мнимых параллельных прямых

Замечание. Уравнение λ₁t²+ b₂τ+a₀=0 получается с помощью замены переменных , , если собственное число λ₂=0.

В нашем случае λ₁∙λ₂=–40, c₀=95, следовательно, кривая –3x²–3y²–14xy+50x+10y +100=0 – гипербола.

Преобразуем уравнение –10t²+ 4τ²+95=0:

–10t²+ 4τ²=–95;

– каноническое уравнение гиперболы.

В каноническом уравнении гиперболы параметры a²=9,5 и b²=23,75.

2. Построить кривую, заданную уравнением

–3x²–3y²–14xy+50x+10y +100=0, в системе координат xOy.

Решение.

Решим данное уравнение относительно y в MathCad:

Рассмотрим функции:

Построим график на промежутке x∈[–20, 20] в MathCad:

Задания для самостоятельной работы

1. Определить тип кривой и привести уравнение

f(x)=(m+1)x²+2(m+n+1)xy+(m+1)y²+mx–ny+10=0 к каноническому виду.

1. Построить данную кривую в системе координат .