Лабораторная работа № 5 Угол между прямыми линиями на плоскости. Расстояние от точки до прямой линии

Вопросы по теме

1. Приведите формулу для вычисления угла между прямыми линиями на плоскости.

2. Приведите условия ортогональности прямых линий.

3. Приведите условия параллельности прямых линий.

4. Приведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой линии.

Приведём основные формулы, необходимые для решения задач по теме практикума.

1. Если прямые линии заданы уравнениями с угловым коэффициентом y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂, то угол φ между прямыми:

.

Условие коллинеарности прямых: k₁ = k₂ .

Условие ортогональности прямых: k₁∙k₂ =1.

2. Если прямые заданы общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0, то угол φ между прямыми:

или .

Условие коллинеарности прямых: или .

Условие ортогональности прямых: A₁A₂+B₁B₂=0.

3. Если прямая задана в общем виде Ax+By+C=0, то расстояние d от точки M(x_M, y_M) равно: .

Примеры решения задач

1. По координатам вершин треугольника ABC

A(3; 1), B(3; 5), C(1; 1) найти:

а) уравнение сторон BA и BC; б) уравнение прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC; в) уравнение высоты AD; г) уравнение биссектрисы AM; д) расстояние от вершины A до прямой BC.

Решение.

а) Уравнение стороны BC найдём, воспользовавшись уравнением прямой линии, проходящей через две заданные точки l: .

l_BС: ; l_BС: ; l_BС: y+5= x+3;

l_BС: y= x2; l_BС: x+ y +2=0;

Сторона BA параллельна оси Oy: l_BA: x=3; l_BA: x3=0.

б) Обозначим l_A  уравнение прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC. Угловой коэффициент прямой l_A такой же, как и прямой l_BС и равен 1. Воспользуемся уравнением прямой линии с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. В нашем примере k =1, A(3; 1).

Следовательно, l _A: y1=(x3); l _A: y=x+4;

в) Высота AD перпендикулярна прямой BC, следовательно, угловой коэффициент прямой l _AD

.

Уравнение прямой AD

l _AD: y1=1∙(x3); l _AD: y=x2.

г) Найдём координаты точки, воспользовавшись тем, что биссектриса разделяет сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. .

Вычислим длины сторон треугольника:

; .

Тогда . В координатной записи уравнение примет вид: ; ;

; .

Уравнение прямой l _AM: ;

l _AM: ; l _AM: ;

l _AM: ; l _AM: .

д) Расстояние от вершины A(3; 1) до прямой l_BС: x+ y +2=0:

.

Задания для самостоятельной работы

1. По координатам вершин треугольника ABC

A(m; n), B(m; mn), C(mn; 1) найти:

а) уравнение сторон BA и BC; б) уравнение прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC; в) уравнение высоты AD; г) уравнение биссектрисы AM; д) расстояние от вершины A до прямой BC.

Лабораторная работа № 6 Прямая линия и плоскость в пространстве

Вопросы по теме

1. Приведите различные виды уравнений плоскости в пространстве и поясните смысл параметров этих уравнений.

2. Приведите различные виды уравнений прямой линии в пространстве и поясните смысл параметров этих уравнений.

3. Как вычислить угол между плоскостями?

4. Как вычислить угол между прямыми линиями?

5. Как вычислить угол между прямой линией и плоскостью?

Приведём основные формулы, необходимые для решения задач по теме практикума.

1. Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C, D  параметры плоскости, причём, A²+B²+C² ≠0.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору: A(xx₀)+B(yy₀)+C(zz₀) =0, где (x₀, y₀, z₀) координаты точки, через которую проходит плоскость, (A,B,C)  координаты ненулевого вектора, перпендикулярного плоскости.

3. Нормальное уравнение прямой линии: ax+by+сzp=0, где (a, b, с)  координаты единичного вектора, перпендикулярного прямой линии, параметр p>0 равен расстоянию от плоскости до начала координат.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃):

.

5. Уравнение плоскости в отрезках, проходящей через точки M₁(a; 0; 0), M₂(0; b; 0), M₃(0; 0; c): .

6. Уравнение прямой, проходящей через точки M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂): .

6. Уравнение прямой, проходящей через точку M₀ (x₀, y₀, z₀) и имеющей направляющий вектор , параллельный прямой: .

7. Уравнение прямой в параметрическом виде, если она проходит через точку M₀ (x₀, y₀, z₀) и параллельна вектору : .

8. Если прямая задана как пересечение двух плоскостей, то её направляющий вектор можно получить как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей:

, , .

Примеры решения задач

1. Даны четыре точки

M₁(5; 5; 4), M₂(1; 1; 4), M₃(5; 8; 1) , M₄(5; 8; 1).

Составить уравнения: а) плоскости M₁M₂M₃; б) прямой M₁M₂; в) прямой M₄K, перпендикулярной к плоскости M₁M₂M₃; г) прямой M₃N, параллельной прямой M₁M₂; д) плоскости, проходящей через точку M₄ перпендикулярно прямой M₁M₂.

Вычислить: е) синус угла между прямой M₁M₄ и плоскостью M₁M₂M₃; ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью M₁M₂M₃.

Решение.

а) Уравнение плоскости M₁M₂M₃:

Применим формулу Лапласа: (x5)∙(180)–(y–5)∙(12-0)+(z–4)∙(0–12)

18x–12y–12z+18=0

3x–2y–2z+3=0 – общее уравнение плоскости M₁M₂M₃.

б) Уравнение прямой M₁M₂, проходящей через точки M₁(5; 5; 4), M₂(1; 1; 4): ;

;

– ноль в знаменателе третьей дроби не означает деление на ноль, а является формальной записью и отражает тот факт, что прямая лежит в плоскости z = 4.

Преобразуем это уравнение к каноническому виду:

в) Прямая M₄K, по условию перпендикулярна плоскости M₁M₂M₃. В качестве направляющего вектора искомой прямой примем нормальный вектор плоскости M₁M₂M₃, координаты которого пропорциональны коэффициентам при переменных в общем уравнении плоскости: . Так как прямая проходит через точку M₄, то её уравнение

– каноническое уравнение искомой прямой.

г) Прямая параллельна M₃N прямой M₁M₂. В качестве направляющего прямой M₃N можно взять направляющий вектор прямой M₁M₂. В то же время прямая проходит через точку M₃(5; 8; 1), следовательно

.

д) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M₄ перпендикулярно прямой M₁M₂. Направляющий вектор прямой M₁M₂ является нормальным вектором искомой плоскости. Так как плоскость проходит через точку, M₄ то её уравнение x_a(xx₄)+ y_a(yy₄)+ z_a(zz₄) =0

2(x5)+ 3(y8) =0;

2x+ 3y34 =0 – общее уравнение плоскости, проходящей через точку M₄.

е) Вычислим синус угла α между прямой M₁M₄ и плоскостью M₁M₂M₃.

Заметим, что , где β – острый угол между нормальным вектором плоскости M₁M₂M₃ и вектором =(5–5; 8–5; –1–4)=(0; –3; –5).

ж) Вычислим косинус угла γ между координатной плоскостью M₁M₂M₃ и плоскостью Oxy. Угол γ равен острому углу между нормальными векторами рассматриваемых плоскостей:

и .

.

Задания для самостоятельной работы

1. Даны четыре точки

M₁(m; m; n), M₂(m–n; n–m; 2), M₃(1; mn; 1) , M₄(5; mn; 1).

Составить уравнения: а) плоскости M₁M₂M₃; б) прямой M₁M₂; в) прямой M₄K, перпендикулярной к плоскости M₁M₂M₃; г) прямой M₃N, параллельной прямой M₁M₂; д) плоскости, проходящей через точку M₄ перпендикулярно прямой M₁M₂.

Вычислить: е) синус угла между прямой M₁M₄ и плоскостью M₁M₂M₃; ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью M₁M₂M₃.