Представление результатов измерений
При прямых (непосредственных) измерениях после многократного измерения величины необходимо:
1. Вычислить среднее арифметическое n измерений (выборочную среднюю) по формуле:
.
2. Определить абсолютную ошибку каждого измерения , рассчитать сумму их квадратов и по формуле
найти исправленную среднеквадратическую погрешность.
3.
По заданной доверительной вероятности
и
числу измерений n
по таблице находится коэффициент
Стьюдента tγ,n.
Аналогично определяется коэффициент
Лапласа tn.
4. Вычислить случайную абсолютную погрешность результатов измерений по формуле:
,
и, если необходимо, найти суммарную абсолютную погрешность, используя соотношение
.
5. Оценить относительную погрешность результата измерений по формуле
.
6. Окончательный результат записать в виде
, δ = ... при γ = …
При косвенных измерениях:
Каждая прямая измеряемая величина, входящая в качестве независимой переменной в формулу
обрабатывается по п.п. 1-6 прямых измерений. При этом для всех величин задают одно и то же значение доверительной вероятности .
2.
Определить среднее арифметическое
косвенно измеряемой величины путем
подстановки в функцию средних аргументов:
.
3. Вычислить частные производные функции при подстановке в них средних арифметических значений всех аргументов .
4. Вычислить абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины по формуле:
.
5. Определить относительную погрешность величины у по формуле
.
6. Окончательный результат записывается в виде
,
δ
= ... при γ
=….
Правила округления численного результата.
В результате измерений, а также при проведении математических операций получаются приближенные значения искомых величин. При записи приближенного числа следует учитывать, что цифры, составляющие его, могут быть верными, сомнительными и неверными. Цифра верна, если абсолютная погрешность числа меньше одной единицы разряда этой цифры (слева от неё все цифры верные). Сомнительной называют цифру, стоящую справа от верной, а цифры справа сомнительной неверные. Их необходимо отбросить не только в результате, но и в исходных данных. Например, у известного достаточно точно числа π=3,14159…, но определенного с абсолютной ошибкой 0,002, число 4 будет верным, следующее за ним (число 1) – сомнительным, а остальные неверными, тогда правильная запись π=3,141±0,002.
Возможны варианты, когда в расчетах имеет место число с неопределенной абсолютной погрешностью. В этом случае погрешность определяется как половина последнего разряда вводимого в расчет числа. Например универсальная газовая постоянная R=8,31Дж/моль К должна иметь вид R=(8,310 ± 0,005) Дж/моль К.
Округления производятся лишь в окончательном результате, а все предварительные расчеты – с одним-двумя лишними порядками. Если разброс измеренных значений соизмерим с половиной последнего разряда, то в среднем арифметическом можно оставить число порядков тем же. При этом неверные числа отбрасываются без округления сомнительного числа. Например, при ряде чисел 3, 2, 1, 3, 2 среднее 2,2 нельзя округлить до 2, а в ряде 2.3, 2.2, 2.1, 2.3, 2.2 у среднего 2,22 можно оставить тот же порядок, записав его как 2.2 по причине того, что относительная погрешность первого ряда на порядок выше погрешности второго ряда и это очевидно даже без расчетов.
С учетом выше перечисленных правил при расчетах как прямых, так и косвенных измерений необходимо:
1. Выполнить предварительную запись окончательного результата измерения в виде при этом вынести за общую скобку одинаковые порядки среднего и погрешности, т.е. множитель вида 10k, где k – целое число. Числа в скобках переписать в десятичном виде с использованием запятой, убрав тем самым оставшиеся порядковые множители.
2. Округлить число, соответствующее погрешности, оставив не более 2-х значащих цифр. При этом руководствоваться следующими правилами: при малых относительных погрешностях ( δ<5%) - две, при больших – одна значащая цифра. Причем последняя цифра округляется обычно до нуля или пяти.
3. По правилам округления округлить в скобках число, соответствующее среднему значению: при этом учесть, что числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.
4. Окончательно записать с учетом выполненных округлений. Общий порядок и единицы измерения величины приводят за скобками. Указать значение относительной погрешности и доверительной вероятности.
Примеры округления и записи окончательных результатов
Предварительная запись |
Стандартная форма записи |
U = (528,112±152,4). 101 мВ |
U = (5,3±1,5). 103 мВ |
I = (0,418 ± 0,042) А |
I = (0,42±0,04) А |
R = (0,03643±0,00021) Ом |
R = (36,43±0,21).10-3 Ом |
f = (125,3±41) Гц |
f = (0,13±0,04). 103 Гц |
t = (8,72.102±30). 10-1 мс |
t = (87±3) мс |