Статистическое распределение ошибок. Распределение Гаусса.

В курсе теории вероятностей и математической статистики показано, что случайные ошибки подчинены определённым закономерностям.

В частности, допустим, что сделано n повторных измерений одной и той же величины. Если они выполнены одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой степенью тщательности, то такие измерения называются равноточными. Пусть минимальный интервал значений измеряемой величины, через который ведутся отсчеты (цена деления прибора), будет h, а среднее арифметическое всех результатов измерений – . Обозначим через k_i число тех результатов, которые отклонились от среднего на величину Δx= ih. Отложив по оси абсцисс величину абсолютных погрешностей Δx, а по оси ординат значения k, получим ступенчатый график, называемый гистограммой, рис.1.

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h – к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей и называется графиком функции Гаусса. Несколько кривых Гаусса для разных значений параметра σ изображены на рис.2. Как видно из представленных графиков параметр σ определяет ширину распределения.

Распределение Гаусса ещё называют нормальным распределением, которое описывается формулой (14).

(14).

Следует отметить, что , где S_n – выборочное среднее квадратичное отклонение, определяемое соотношением (4). Квадрат параметра σ называется дисперсией и характеризует рассеяние измерений.

Подготовка и проведение измерений

Перед проведением измерений необходимо:

1) ознакомиться с принципом работы измерительного прибора, правилами его эксплуатации и диапазоном измеряемых величин;

2) установить класс точности прибора (приведенную погрешность) – это выраженная в процентах относительная погрешность при измерении им наибольшего значения измеряемой величины, указанной на шкале. Тогда абсолютная систематическая погрешность оказывается одинаковой на всей шкале прибора. Например, пусть имеется амперметр класса 1,5 со шкалой 20 А. При измерении им любого значения тока абсолютная систематическая погрешность будет равна 0,015· 20 = 0,3 А. Нетрудно видеть, что при измерениях в конце шкалы относительная погрешность оказывается меньше, приближаясь к приведенной. Класс точности обычно указывается на шкале прибора соответствующей цифрой. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, и его приведенная погрешность более 4%;

3) в случае отсутствия класса точности среднее квадратичное отклонение прибора можно принять равным половине цены деления младшего разряда шкалы;

4) проверить установку нуля прибора.

При проведении измерений следует:

5) выполнить требуемое количество однородных измерений, что приведёт к формированию выборочной совокупности наблюдаемых величин х_1,х_2,…х_n ;

6) результаты всех измерений (показания приборов) обязательно должны быть записаны в рабочем журнале без каких-либо пересчётов на множитель шкалы или систему единиц;

7) в рабочем журнале также необходимо записать множитель и цену деления шкалы прибора.