Интервальная оценка измеряемой величины

Однако при небольшом количестве измерений из-за наличия ошибок точечная оценка может давать значительные отклонения от истинного значения измеряемой величины. Поэтому проведение измерений сопряжено с оценкой ошибок, погрешностей.

В этом случае применяется интервальная оценка измеряемой величины. Интервальная оценка позволяет установить точность и надёжность при конечном числе измерений.

Суть интервальной оценки измеряемой величины состоит в том, чтобы указать интервал значений (доверительный интервал), который с заданной надёжностью (доверительной вероятностью), покрывал искомую измеряемую величину. Т.е. искомая величина задаётся не числом – точкой на числовой оси, а интервалом – двумя числами . Здесь введена новая величина – случайная абсолютная ошибка, а – точечная оценка неизвестной измеряемой величины х, полученная, как результат среднего по формуле (1). Другими словами, доверитель-ным интервалом называется интервал , который с заданной доверительной вероятностью, или надёжностью, покрывает неизвестную измеряемую величину. Тогда также справедливо определение: надёжностью (доверительной вероятностью) оценки измеряемой величины по называют вероятность , с которой выполняется неравенство . Т.е.

(2).

Это соотношение утверждает следующее: вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестную измеряемую величину х, равна γ. А искомая неизвестная измеряемая величина может быть определена следующим образом:

(3).

Т.е. абсолютная ошибка характеризует отклонение вычисленного среднего значения измеряемой величины от её истинного значения и определяет точность измерений. Следует напомнить, что при этом имеется в виду только случайная ошибка при прямых измерениях.

Вычисление абсолютной ошибки при прямых измерениях

Как было сказано выше, в результате повторения n однородных измерений получается совокупность значений х₁,х₂,,…х_n (выборочная совокупность или выборка). Данные значения позволяют по формуле (1) получить среднее арифметическое измеряемой величины или выборочную среднюю. Можно ввести абсолютную ошибку каждого измерения, или отклонения, как и найти её среднее. Но среднее арифметическое этих ошибок при большом количестве измерений стремится к нулю. Во избежание этого вводится такая величина, как выборочное среднее квадратичное отклонение (корень квадратный из среднего арифметического квадратов отклонений от выборочного среднего наблюдаемых величин), равное

(4).

Если же число измерений меньше 30, то вводится исправленное среднее квадратичное отклонение

(5).

С учётом вышесказанного случайная абсолютная ошибка определяется из соотношения

(6),

где величина – называется коэффициентом Стьюдента. Для определения коэффициента Стьюдента необходимо указать величину доверительной вероятности γ и количество измерений п. Искомый коэффициент определяется из таблицы, приведенной ниже.

Таблица коэффициентов Стьюдента и Лапласа

=0,683		=0,955			=0,998
n	tγ,n		n	tγ,n		n	tγ,n
2	2,0		2	12,7		2	63,7
3	1,35		3	4,73		3	12,0
4	1,22		4	3,35		4	6,98
5	1,16		5	2,94		5	5,27
6	1,13		6	2,70		6	4,6
7	1,11		7	2,57		7	4,2
8	1,09		8	2,48		8	3,92
9	1,08		9	2,40		9	3,72
10	1,07		10	2,35		10	3,48
	1.0			2.0			3.0

Таким образом, смысл понятий доверительный интервал и доверительная вероятность состоит в следующем: пусть = 0,955, тогда можно утверждать, что при достаточно большом количестве измерений в 95,5% случаев истинное значение измеряемой величины х заключено в интервале , и лишь в 4,5% случаев выходит за пределы указанного интервала_.

Чтобы окончательно установить границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом абсолютной систематической погрешности Δx_сист. Для этого необходимо знать среднее квадратическое отклонение прибора , которое, как правило, можно найти в паспорте, а в простейших случаях - принять равным половине цены деления младшего разряда шкалы.

Тогда Δx_сист определяется из соотношения

(7).

Здесь введен коэффициент – коэффициент Лапласа, который также определяется из приведенной таблицы при значении

Обычно (хотя, не очень строго) можно положить, что суммарная погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей:

(8).

Для оценки величины абсолютной погрешности по отношению к самой измеряемой величине вводится относительная ошибка, равная

(9).

Вычисление абсолютной ошибки при косвенных измерениях

Пусть у – косвенно измеряемая величина является функцией нескольких переменных непосредственно измеряемых величин a,b,...c, т.е.

(10).

Среднее значение можно найти путём подстановки в формулу (10) в качестве аргументов усредненных значений непосредственно измеренных величин :

(11).

Тогда абсолютная погрешность Δy определяется по формуле

(12),

где – частная производная функции у по переменной a. Частная производная ­– это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу a, в предположении, что все остальные аргументы считаются постоянными. В этой формуле частные производные рассчитываются при подстановке в неё средних арифметических значений всех аргументов - полученных как результат прямых измерений, а - абсолютные ошибки этих же величин. Затем вычисляется относительная погрешность косвенно измеряемой величины

(13).