Декартово произведение множеств

1. Доказать, что существуют такие множества А, В, и С что

А В  ВА.

2. Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств:

1. [a, b]²;

2. [a, b][c, d], где [a, b] и [c, d]  R.

3. {0, 1}³.

3. Доказать, что если А, В, С, и D не пусты, то

1. А  В и С  D  А  С  В  D;

2. A=B и C=D  АС =ВD/

4. Доказать, что

1. (А В)(С  D)= (АС) (ВD);

2. 

4. Доказать, что (АВ)  (СD)(А С)(В D). При каких А, В, С, и D получается равенство?

5. Доказать, что

1. (А  В)С=(АС) (ВС);

2. А(В С)=(АВ) (АС);

3. (А В)(С D)=(АС)  (ВС) (АD) (ВD);

4. (А\В)С=(АС)\(ВС);

5. А(В\С)=(АВ)\(АС);

6. АВ=(АD) (СВ), где А  С и В  D;

7. 1²-(АВ)=991\А)1) (1(1\В));

8. 

9. 

4. Пусть А,В   и (АВ) (ВА)=СD. Доказать, что А=В=С=D.

Отношения и функции

Найти dom , rang , ^-1,   ,   ^-1, ^-1   для отношений:

1.  = {(x, y)  x, y N и x делит y};

2. ={(x, y)х,у N и у делит х};

3. ={(x, y)х,у R и х+у  0};

4. ={(x, y)  х,у R и 2х  зу};

5. ={(x, y) х,у [-/2, /2] и у  sin x}.

2. Доказать, что для любых бинарных отношений справедливы утверждения:

1. dom =   =   rang  = ;

2. dom ^-1 = rang , rang ^-1=dom ;

3. dom (₁  ₂ )= ₁^-1(dom ₂  rng ₁).

 ₁ ₂ ={(x,y) z: х ₁ z, z ₂ у} , следовательно, в образовании пар отношения ₂ могут участвовать только такие значения z, для которых выполняется включение z  dom ₂  rng _{1 .} Так как область определения композиции отношений ₁  ₂ является подмножеством dom ₁, то в это подмножество будут включены только те элементы х, для которых определены образы в множестве dom ₂  rng ₁ . Поэтому искомое множество определяется как множество прообразов множества dom ₂  rng ₁ по отношению ₁^-1. Таким образом ,

dom (₁  ₂ ) = ₁^-1(dom ₂  rng ₁). 

2. 4. rng (₁  ₂)= ₂(rng ₁  dom  ₂ ).

2.5. Пусть  - бинарное отношение на А. Доказать, что  = i_A тогда и только тогда, когда   ₁ = ₁   = ₁ для любого отношения ₁ не А.

 Пусть   ₁ =  для всех ₁. Тогда  z: (xz)  , (zy)  ₁ и (х,у)  ₁. Это возможно только тогда, когда х: z=x, т.е.  = i_A. Аналогично можно доказать, что ₁   = ₁ тогда и только тогда, когда  = i_A. Обратно, если  = i_A, то

 ₁:   ₁ = ₁   = ₁ в силу определения операции композиции. 

3. Доказать, что для любых бинарных отношений

1. (^-1)^-1 = ;

 Пусть (х,у) ( ^-1)^-1. Тогда по определению обратного отношения можно записать цепочку включений: (у,х)  ^-1  (х,у)  . Таком образом,

(^-1)^-1  . Аналогично доказывается обратное включение. Из существования двух включений делается вывод о тождественном равенстве. 

2. (₁  ₂)^-1 = ₁^-1  ₂^-1;

3. (₁  ₂)^-1 = ₁^-1  ₂^-1;

4. 

 Пусть (х,у)  (^-1), тогда по определению дополнения отношения

5. ( х,у)  ^-1 и (у,х)  . Следовательно, (у,х)   и (х,у)  ( )^-1 . Следовательно, ( ^-1)  ( )^-1. Обратное включение доказывается аналогично. 

6. 

4. Для каких бинарных отношений справедливо ^-1 =  ?

 Если   АВ, А   и В  , то таких отношений не существует. 

4. Пусть А и В - конечные множества, содержащие m и n элементов соответственно.

1. Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств

А и В?

 Число бинарных отношений между элементами множеств А и В равно мощности булеана множества АВ. Так как АВ  = m*n, то искомое число равно 2^m*n. 

2. Сколько имеется функций из А в В?

 Если мощность А равна n, то любое функциональное отношение содержит n элементов, каждый из которых начинается с х А, а второй элемент у может быть любым элементом В. Следовательно надо определить число различных способов дописать второй элемент в каждую из пар, т.е. число размещений с повторениями из n элементов по m, равное (n^m). 

3. Сколько имеется 1-1 функций из А в В?

 Рассуждая аналогично доказательству задачи 5.2, и учитывая что 1-1 функция есть взаимно однозначное соответствие между А и В, приходим к выводу, что число таких функций равно числу размещений без повторений, А_n^m , если n m. Если n<m, таких функций не существует. 

4. При каких m, n существует взаимно однозначное соответствие между А и В?.

6. Доказать, что для любых бинарных отношений

1. ₁  (₂  ₃) = ( ₁  ₂)  ₃; как называется это свойство?

2. ( ₁  ₂)^-1 = ₂^-1  ₁^-1;

3. 

 Пусть (х,у)  Тогда  z: х ( _i)z, zqy. Тогда i I z:

x _i z, zqy  i: (x,y)  ( _i ) q (х,у)  Обратное включение доказывается аналогично. 

4. 

5. 

6. 

7. в пунктах 6.5 и 6.6 включения нельзя заменить равенствами.

 Пусть ₁ ={(11)}, ₂={(10)}, q ={(01), (11)}. Тогда пересечение ₁  ₂= , и композиция

q   =   q = . Тогда как 

7. Доказать, что если ₁  ₂, то

1. q ₁  q  _2;

2. ₁ q  ₂  q;

3. ₁^-1  ₂^-1.

8. Доказать, что если f: AB и g: BC, то (f g):АС.

8. Пусть f и g - функции. При каких условиях

9.1. f^—1 является функцией?

9.2. f g является 1-1 - функцией?

Функция f называется 1-1 - функцией, если х₁х₂ (у=f(x₁) и y= f(x₂))  х₁₌х₂.

1. Пусть f: AB -взаимно однозначное соответствие. Показать, что

10.1. f ^-1  f =i_B;

10.2. f f ^-1 = i_A.

11. Доказать, что для того , чтобы отношение   АВ было взаимно однозначным соответствием между А и В, необходимо и достаточно, чтобы

  ^-1 = i_A и ^-1   = i_B.

12. Доказать, что для любой функции f:

12.1. f(А  В) = f(А)  f(В);

12.2.

12.3. f(А  В)  f(А)  f(В);

12.4.

12. Доказать, что f(А  В)  f(А)  f(В) для любых А и В тогда и только тогда, когда f есть

1-1 - функция.

14. Доказать, что f(А)\f(В)  f(А/В) для любой функции f.