Решение систем уравнений

1. Решить систему уравнений

где А, В, и С - данные множества, и В А С.

Решение:

Используя тождества задач 1.2 и 1.3 предыдущего раздела, получим:

• А Х =В  А  Х В и В  А  Х. Следовательно, из второго включения

В  А, и В Х; из первого включения : Х  А  В. Из этих двух

включений: В  Х  А  В.

• А  Х = С  А  Х  С и С  А  Х. Из первого включения следует,

что А  СХ  С, из второго включения имеем С  А  Х. Следовательно,

С  А Х  С.

• Соединяя двойные включения, полученные из первого и второго уравнений,

получим (А  С)  В  Х  С  ( А  В). Преобразуя правое

выражение, получим: С\А  В  Х  С\А  В.

Следовательно, Х = А\С В.

2. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества и В  А, А С= .

Ответ: Х=С (А\В).

3. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества и В  А  С.

Ответ: Х = С\В.

3. Решить систему уравнений

При каких А, В и С система имеет решение?

Решение:

Два множества P и Q равны тогда и только тогда, когда пересечение

P  Q = и P Q=I.

1. Пусть А  Х = В  Х.

Т огда (А  Х)  (В Х)= . Преобразуем это выражение обычным образом:

(А  Х) (В  Х)= (А  В)  (А  Х)  (В  Х) = .

Объединение множеств может быть пусто тогда и только тогда, когда пусты все множества, участвующие в объединении (по определению объединения). Т.е.

А  В = , Х В = , А  Х = .

Из А  В =  , следует, что А  В.

Из Х В = , следует, что то Х  В.

Из А  Х =  следует, что А  Х.

Из полученных выражений получаем двойное включение А  Х  В и А  В.

2. Пусть А  Х = С  Х.

Т огда (А Х)  (С  Х) = . Преобразуем это выражение обычным образом:

(А  Х)  (С  Х ) = . Это тождественное равенство, так как Х  Х =  по аксиоме дополнения. Поэтому перепишем преобразование иначе:

( А  Х)  (С  Х) = . Отсюда

( А  Х )  (С  Х) = ( А  С )  (А  Х)  (С  Х ) = .

Из ( А  С ) =  следует, что С  А.

Из ( А  Х) =  следует, что Х  А.

Из (С  Х) =  следует, что С  Х .

Из полученных выражений получаем двойное включение С  Х  А и С  А.

3. Объединяя полученные двойные включения, получим:

А  С  Х  А  В. Так как С  А  В, то А  С = А и А  В = А.

Окончательно получаем А  Х  А , т.е. Х=А.

4. Решить систему уравнений

При каких А, В, С система имеет решение?

Решение: Используем для решения тот же подход что и в задаче 3.

1. П усть (А  Х)  (В  Х ) = . Отсюда получим: В  А  Х и В  Х.

2. П усть (С  Х)  (Х\А)= . Отсюда - С  Х  А.

3. Объединяя полученные в пунктах 1 и 2 включения, получим

В  С  Х  А при условии, что В  С  А.

5. Решить систему уравнений и определить, при каких А, В, С система имеет решение.

Решение: Воспользуемся приемом задачи 3 настоящего раздела.

1 . (А  Х)  Х\В =  . Отсюда получим А  В  Х и AX.

2 . Х\А  С\Х = . Отсюда - Х  А  С и XA.

Объединяя полученные включения, получим

А  Х  А. Отсюда Х = А.