10

Министерство общего и профессионального образования Российской федерации

Тверской государственный технический университет

Кафедра электронных вычислительных машин

Сборник задач

по элементам теории множеств и отношений

Методические указания к практическим занятиям по Дискретной математике

для студентов специальности 22.01

(Вычислительные машины, системы, комплексы и сети)

Тверь 2002

Методические указания содержат задачи по элементам теории множеств и отношений и предназначены для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов по дисциплине «Дискретная математика». Методические указания предназначены для студентов специальности ЭВМ, изучающих курс "Дискретная математика", а также для использования при курсовом проектировании элементов вычислительной техники.

Методические указания рассмотрены на заседании кафедры № от и рекомендованы к изданию в электронном варианте.

Составитель АСЕЕВА Т.В

 Тверской государственный технический университет, 2002

Тверской государственный технический университет 1

Сборник задач 1

по элементам теории множеств и отношений 1

Элементы теории множеств и отношений 3

Задание множеств. Операции на множествах 3

Решение систем уравнений 4

Декартово произведение множеств 6

Отношения и функции 6

Специальные бинарные отношения 8

Мощность множества 9

Элементы комбинаторики 9

Элементы теории множеств и отношений Задание множеств. Операции на множествах

1. Пусть универсум I = {1,2,3,4,5}, X={1,5}, Y={1,2,4}, Z={2,5}. Найти множества:

   1. X  Y; [ {5} ];

   2. (X  Z)  Y; [ {2,3,5} ];

   3. X  (Y Z); [ {1,2,5} ];

   4. (X  Y)  (X  Z); [ {1,2,5}];

   5. (X  Y); [{3}];

   6. X  Y;

   7. (X  Y);

   8. (X  Y)  Z;

   9. X  (Y  Z);

   10. X \ Z;

   11. (X \ Z)  (Y \ Z).

Изобразить все получающиеся множества с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

2. Даны два произвольных множества А и В такие, что А  В = . Определить А \ В и В \ А.

3. Даны два произвольных множества С и D такие, что C  D = . Определить C D и

C D. Изобразить подходящие диаграммы Эйлера-Венна.

4. Дано произвольное множество Х. Определить множества

   1. X X;

   2. X X;

   3. X /X.

5. Какие из следующих утверждений справедливы?

   1. 0  ; (нет)

   2.  = {0}; (нет)

   3. | {}| = 1; (да)

   4. {{}} = {{{}}}; (нет)

   5. | {{}}| = 2. (нет, она равна 1).

6. Доказать, что   {}.

7. Доказать, что {{1,2}, {2,3}}  {1,2,3}.

8. Существуют ли такие множества А, В, С, что А В  , А  С = , (А  В) \ С = ?

 Нет, так как АС =   x: x  AB; AC=  x: x  A  x  C. Следовательно, (АВ)\C  . 

9. Доказать, что А  В  А  В = В  АВ=А  А\B =  A  B = I.

10. Доказать аналитически и графически следующие тождества:

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

10.7.

 Пусть M, N произвольные множества и M=N. Тогда M N = , M  N =I. Пусть далее Тогда, подставляя вместо М и N указанные выражения, получим:

Докажем справедливость этих соотношений, используя аксиомы ассоциативности, дистрибутивности

и дополнения Алгебры Кантора.



10.8.

10.9.

10.10.

10.11.

11. Доказать следующие соотношения:

11.1.

11.2.

11.3.

• Пусть АВС и хА. Рассмотрим два случая: хВ или хВ. Если хВ, то хАВС, т.е. х ВС. Следовательно, А  ВС.

Если хВ, то х ВС (по определению объединения множеств).

Пусть АВС и хАВ. Тогда хА и х В. Значит, хС. Следовательно, АВС. 

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

Примечание. При доказательстве следования (последние задачи) доказательство производится только слева направо.

12. Доказать, что Р(АВ)= Р(А)Р(В).

 Р(АВ) - булеан множества АВ. Поэтому его элементами являются множества, каждое из которых есть подмножество АВ. Поэтому решение выглядит следующим образом.

Пусть ХР(АВ). Тогда ХАВ. Следовательно, ХА и ХВ. По определению булеана ХР(А) и ХР(В). Следовательно, ХР(А)Р(В), т.е. Р(АВ) Р(А)Р(В).

Пусть ХР(А) Р(В). Тогда ХР(А) и ХР(В). Следовательно, ХА и ХВ. Следовательно, ХАВ. Т.е. ХР(АВ). Следовательно, Р(А)Р(В)Р(АВ).

Из прямого и обратного включений следует равенство. 

13. Доказать, что .

14. Доказать, что Р(АВ)={(A_i B_i)|A_iP(A), B_iP(B)}.

15. Доказать, что

16. Какие утверждения верны для всех множеств А, В, С?

    1. Если АВ и ВС, то АС. (нет)

    2. Если АВ и ВС, то АС. (нет)

    3. Если АВС и АСВ, то АС=.

АСВ, следовательно, АВ и СВ. Следовательно, АВ=А. Так как АВС, следовательно, АС. Следовательно, АС=.

4. Если АВ и ВС, то АС. (нет)

5. Если (нет, например, А, В, С попарно не пересекаются).