Обработка результатов измерений
Правила определения погрешности прямых измерений
Пример распределения результатов 100 измерений некоторой физической величины X (зелёные столбцы) и график нормального распределения (красная линия) при <X> = -0,0085 и Sx = 0,926.
01/09/20 |
11 |
Обработка результатов измерений
Правила определения погрешности прямых измерений
Для оценки отклонения среднего значения и возникающей при этом случайной погрешности используют среднеквадратичное отклонение среднего:
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
( X k |
|
)2 |
|
|
S |
|
|
|
|
X |
|
||
x Sx |
x |
|
|
k 1 |
|
||||
|
|
|
n(n 1) |
|
|||||
n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Его также называют стандартной ошибкой среднего или стандартным отклонением среднего.
Результат измерения записывается в виде:
X X Sx
01/09/20 |
12 |
Обработка результатов измерений
Правила определения погрешности прямых измерений
Если число измерений n невелико, то среднеквадратичное отклонение домножают на поправочный коэффициент tр, называемый коэффициентом Стьюдента (см. таблицу):
xсл t p Sx
Результат измерения записывается в виде:X X xсл
Помимо числа измерений, коэффициент Стьюдента tр
зависит от доверительной вероятности P, которая задаёт долю результатов, попадающих в доверительный интервал x.
Коэффициенты Стьюдента tр
n-1 |
|
|
P |
|
2 |
0,683 |
0,95 |
0,99 |
0,997 |
1,32 |
4,70 |
9,9 |
19,2 |
|
3 |
1,20 |
3,18 |
5,8 |
9,2 |
4 |
1,15 |
2,78 |
4,6 |
6,6 |
5 |
1,11 |
2,57 |
4,0 |
5,5 |
6 |
1,09 |
2,45 |
3,7 |
4,9 |
7 |
1,08 |
2,37 |
3,5 |
4,5 |
8 |
1,07 |
2,31 |
3,4 |
4,3 |
9 |
1,06 |
2,26 |
3,2 |
4,1 |
10 |
1,05 |
2,23 |
3,2 |
4,0 |
20 |
1,03 |
2,09 |
2,8 |
3,4 |
50 |
1,01 |
2,01 |
2,7 |
3,1 |
100 |
1,00 |
1,98 |
2,6 |
3,1 |
200 |
1,00 |
1,97 |
2,6 |
3,0 |
01/09/20 |
13 |
Обработка результатов измерений
Правила определения погрешности прямых измерений
3. Если случайная Δxсл и систематическая (приборная) Δxпр погрешности примерно
одинаковы (или отличаются не более, чем в 3 раза), то суммарную погрешность ΔxΣ
результата можно определить по формуле:
x 
( xсл )2 ( xпр )2
Результат измерения записывается в виде:
X X x
01/09/20 |
14 |
Обработка результатов измерений
Правила определения погрешности косвенных измерений
1. Если все погрешности результатов прямых измерений
систематические (например, приборные), то
погрешность результата косвенных измерений
определяется по формуле:
k |
|
f |
|
Y |
|
|
xi |
x |
|||
i 1 |
|
i |
|
где Y = f(x1, x2, x3,...xk) – искомая величина, рассчитываемf ая по результатам измерения других величин xi; xi – частные производные функции f по соответствующему xi; xi – абсолютная погрешность i-го измерения. Прямые скобки означают модуль
произведения.
01/09/20 |
15 |
Обработка результатов измерений
Правила определения погрешности косвенных измерений
2. Если все погрешности результатов прямых измерений
случайные, то погрешность результата косвенных
измерений определяется по формуле:
k |
f |
2 |
|
|
|
||
|
|||
Sx |
xi |
Sxi |
|
i 1 |
|
где Sxi – погрешность результата i-го прямого измерения.
3. Если случайная и систематическая ошибки по
величине близки друг к другу (отличаются не более, чем в 3 раза), тогда суммарная погрешность равна:
x 
(Sx )2 ( Y )2
01/09/20 |
16 |
Обработка результатов измерений
Правила округления результатов
Результаты измерений и их погрешности обычно содержат много цифр. Например:
a = 2,8675423 ± 0,0764328 Однако грамотная запись выглядит как
a = 2,87 ± 0,08
Это достигается правильным округлением и результата и его погрешности.
01/09/20 |
17 |
Обработка результатов измерений
Правила округления результатов
1.Округление всегда начинают с погрешности. Если первая значащая цифра погрешности равна 1, то погрешность округляют в бóльшую сторону до двух значащих цифр (ненулевых слева), если же она больше 1, то до одной значащей цифры.
2.Затем округляют результаты измерения с точностью «до погрешности», т. е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.
Округление результата происходит по обычным правилам округления. Но если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр (или стоят одни нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, когда она нечетная, и оставляют неизменной, когда она четная. Например, округляя до целых 275,500 ≈ 276, как и 276,500 ≈ 276.
01/09/20 |
18 |
Обработка результатов измерений
Правила округления результатов
Результаты записывают только значащими цифрами. Запятую обычно ставят сразу после первой значащей цифры результата, и, вместе с погрешностью, умножают на десять в соответствующей степени.
После этого указывают единицы измерений. Например:
t = 74±3 мс
U = (5,3±1,5)·106 В
R = 48,30±0,11 Ом
01/09/20 |
19 |
Обработка результатов измерений
Метод наименьших квадратов (МНК)
Если одна физическая величина зависит от другой
величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. При этом
получим набор экспериментальных точек (xi,yi) при i = 1, 2 … n.
Предположим, что ожидаемая зависимость имеет вид
прямой (или приведём к такому виду линеаризацией) y = f(x) = ax + b
Задача – найти параметры a и b, а также их погрешности при следующем условии:
1 |
n |
|
( yi axi b)2 min |
n i 1
01/09/20 |
20 |