Лекция 5. Определенный интеграл

5.1. Интегральные суммы. Условия существования определенного интеграла

Пусть неотрицательная функция определена и непрерывная на отрезке конечные числа). График функции изображен на рис. 1.

Рис. 1

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Пусть плоская фигура ограничена графиком функции , осью , прямыми

Фигура называется криволинейной трапецией. Для того чтобы решить задачу выполним следующие действия:

1) разобьем произвольно отрезок на частей точками

;

2) выберем на каждом из отрезков произвольную точку . Обозначим через разницу , которую будем называть длиной частного отрезка ;

3) в точках вычислим значение функции и составим такую сумму: .

Геометрический смысл этой суммы очевиден – это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами ;

4) для нахождения площади криволинейной трапеции допустим, что количество точек , а максимальная длина отрезков стремится к нулю, то есть .

Тогда площадь криволинейной фигуры, которая изображена на рис.1, есть предел интегральной суммы, то есть:

2. Задача о вычислении пути материальной точки.

Пусть известна скорость движения материальной точки как функция времени . Найти путь, который пройдет точка за время от до . Если скорость не изменяется в течение времени, то есть – постоянная величина, то путь , который прошла точка за промежуток времени , вычисляется по формуле

Выполним такие действия:

1. разобьем отрезок на промежутки времени:

;

2) на каждом отрезке времени возьмем произвольную точку и вычислим в этой точке значения скорости ;

3) для длины пути , который прошла точка за промежуток имеем где .

Тогда полная длина пути , если на каждом промежутке времени допустить движение равномерным, будет: ; 4) для нахождения пути, который прошла точка за время от до , найдем предел при и при :

.

3. Задача об объеме продукции.

Пусть функция описывает зависимость производительности труда некоторого производства за время . Найдем объем продукции , изготовленной за промежуток времени . Если производительность не меняется на протяжении времени, то есть – постоянная величина, то объем продукции , изготовленной за промежуток времени вычисляется по формуле Используя приближенное равенство , где которое будет более точным, чем меньшим будет . Выполним следующие действия:

1. Разобьем отрезок на промежутки времени:

.

2. Вычислим объем продукции , изготовленной за промежуток , имеем: где

3. Определим приближенно объем продукции, изготовленной за промежуток времени :

4. Найдем предел , если стремится к нулю, а и получим объем продукции, изготовленной за промежуток времени :

.

Итак, рассматривая различные по характеру задачи, пришли к пределу одного вида.

Будем считать, что на промежутке задана непрерывная функция и для нее аналогично рассмотренным задачам составлена сумма , которую будем называть интегральной суммой для функции на промежутке .

Если существует конечный предел интегральной суммы при и , который не зависит от способов разбиения отрезка на части, а также выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается: , при этом сама функция называется подынтегральной функцией, заданной на отрезке . Числа и соответственно называются верхним и нижним пределами интеграла, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Отметим, что поскольку определенным интегралом является предел интегральной суммы, то для существования такого предела, а поэтому и интеграла, достаточно непрерывности функции .

Заметим также, что поскольку из определения определенного интеграла также вытекает, что величина интеграла зависит от вида функции и пределов интегрирования, то определенный интеграл определяется однозначно и в отличие от неопределенного интеграла является числом, которое не зависит от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования.

Следовательно, можно записать: .

Геометрический смысл определенного интеграла: если функция неотрицательна на отрезке , где , то – численно равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена кривой , отрезком и прямыми и .

Физический смысл определенного интеграла: определенный интеграл – это длина пути, пройденного материальной точкой за промежуток времени , если известна скорость в момент времени .

Экономический смысл определенного интеграла: определенный интеграл – это объем продукции, произведенной за промежуток времени , если известна производительность труда в момент времени .