4. Методы анализа надежности. Топологический метод анализа надежности.

Топологические методы - это методы, которые позволяют определять показатели надежности либо по графу состояния, либо по структурной схеме, при этом не составляются и не решаются диф. ур-ы и алгебраические ур-я.

Достоинства топологического метода:

1. Простота вычислений алгоритмов

2. Наглядность процедур определения количественных характеристик надежности

3. Возможность приближения оценок

4. отсутствие ограничений на вид структурной схемы

Ограничения топологических методов:

1. Интенсивность отказов и восстановления элементов должна быть постоянной величиной.

2. Временные показатели надежности определяются в преобразованиях Лапласа.

Определение вероятностей состояний системы

Вероятность застать восстанавливаемую систему в состоянии i в фиксированный момент

времени Т в преобразованиях Лапласа записывается так:

где Δ(s)-это главный определитель системы диф. ур-й, записанный в преобразованиях Лапласа.

Рассмотрим методику определения Pi(S) графа состояний таких систем, в которых отсутствуют переходы через состояние. Такими графами описываются неизбыточные резервируемые системы при общем, дробном и целом резервировании. Функционирование системы описывается системой диф. ур-й, число элементов которой соответствует числу узлов графа. n-число узлов графа,

mi=n-1-li, li-число переходов из начального состояния системы, определенного начальным условием ее функционирования, в состоянии i по кратчайшему пути.

Коэффициенты Ai определяются по следующим правилам:

1. Коэффициент при S^n-1 всегда равен 1, A0=1

2. Коэффициент A1 равен сумме всех интенсивностей переходов в графе состояний.(A1=a₀₁+a₁₀+a₃₂+a₁₃…)т.е. А1=Σλi+Σμi

3. Коэффициент А2 равен сумме всех попарных произведений интенсивностей переходов, за исключением членов вида a_ij*a_ji и a_ij*a_iк т.е. не включаются попарные произведения контура и попарные произведения интенсивностей выходящих из одного узла.

4. Коэффициент Аi, i=3,4,5…Ai=ΣΠai. Ai равен сумме произведений интенсивностей переходов, взятых по i, кроме интенсивностей образующих контуры и исходящих из одного и того же узла.

Коэффициенты Bi определяются по следующим правилам:

1. Коэффициент при S^m-i равен сумме только тех слогаемых коэффициента Аi при S той же степени, у которых:

- содержится произведение всех интенсивностей переходов из начального состояния системы, определенного начальными условиями функционирования системы, в состояние i по кратчайшему пути.

- Отсутствуют интенсивности переходов из i-го состояния.

Определение финальных вероятностей

Что бы найти финальные вероятности необходимо знать только B_mi и A_n-1.

Т.к. Pi- величина безразмерная, то коэффициенты B_i и A_n-1 будут содержать одинаковое количество сомножителей, число которых равно (n-1).Bi произведение всех интенсивностей, выходящих из начального состояния в i-ое, по кратчайшему пути. Pi=1, отсюда A_n-1= B_mi

Где n-число узлов графа. Bmi- произведение интенсивностей переходов из всех крайних свободных узлов в узел, соответствующий i-му состоянию системы, при перемещении по кратчайшему пути, по направлению стрелок.

Анализ надежности невосстанавливаемых нерезервированных систем.

Вероятность безотказной работы в течении времени Т-это вероятность того, что технический объект не откажет в течении времени t или за время работы до отказа технического объекта, больше времени его функционирования t.

Вероятность безотказной работы Pi(t) обладает следующими свойствами.

1. 0 P 1

2. P(0)=1

3. P( )=0

, где P*-статистическая оценка вероятности, -общее число элементов находящихся на испытании.

N-общее число исправных элементов на момент времени t, n-число отказавших элементов.

- плотность распределения времени безотказной работы за время t.

, где

Интенсивность отказов является основным показателем надежности сложных систем.

Основное соединение. Отказ данной системы произойдет при отказе элемента с наименьшим временем безотказной работы.

Вероятность безотказной работы данной системы

или

Если элементы имеют одинаковую надежность (равнонадежные), то

, ,

Анализ надежности невосстанавливаемых резервированных систем.

1.Система с постоянно включенном резервом

Основным способом повышения надежности и снижения риска системы является структурное резервирование, которое реализуется путем введения в систему дополнительных элементов.

Где элемент ноль-это основной элемент, а элемент 1…m-резервные элементы. n=m+1-общее число элементов, где m- кратность резервирования.

Отказ системы наступает при отказе элемента с максимальным временем отказа.

Вероятность отказа:

Обычно на практике применяется:

,

Для равнонадежных элементов ( ):

, , -среднее время безотказной работы

7. Резервирование с дробной кратностью (мажоритарные системы)

-кратность резервирования, где n-общее число элементов,m-число резервных элементов.

Мажоритарная система будет работоспособной в течении времени t, при отказе не более чем m-элементов за время t, тогда

Вероятность события ,

то

При m=0 получаем основное соединение

При m=1,

При m=-1,

-плотность вероятности отказов

-интенсивность отказов

7. Резерв с замещением.

О тказ системы наступит при отказе 0-элемента, потом при отказе -1.Система невосстанавливаемая - это значит, что общее время отказа системы

,

7. Скользящее резервирование

Мажоритарная система m/n резервом с замещением в ненагруженном режиме - скользящего резервирования. Система будет работоспособна в течении времени t, при отказе не более m элементов.