Метод минимизации фал по Квайну

Определение: Тупиковой ДНФ называется дизъюнкция простых импликант, ни одну из которых из выражения функции исключить нельзя.

Этот метод минимизации ФАЛ заключается в следующем:

1. Находят Сок. ДНФ.

2. Находят все возможные тупиковые ДНФ.

3. Из найденных ТДНФ выбирают минимальную.

Иногда в Сок. ДНФ содержатся лишние импликанты. Как уже видели в сокращенной ДНФ:

f(Х₁, Х₂, Х₃)= Х₁Х₃ Х₂Х₃ Х₁Х₂

импликанта Х₂Х₃ может быть исключена. Ни одной операции склеивания и поглощения к этой форме применить нельзя, т.к. это Сок. ДНФ, т.е. дизъюнкция простых импликант. Можно применить операцию развертывания по Х₁:

f= Х₁Х₃ Х₂Х₃ (Х₁ Х₁) Х₁Х₂ = Х₁Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂

Т.к. Х₁Х₃ покрывает Х₁Х₂Х₃

и Х₁Х₂ покрывает Х₁Х₂Х₃, то f= Х₁Х₃ Х₁Х₂

ТЕОРЕМА:

Всякая минимальная ДНФ является тупиковой. Обратное утверждение не справедливо. Доказательство очевидно.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: Для того чтобы найти минимальную ДНФ, нужно найти все тупиковые формы и среди них взять минимальную.

Существует несколько различных способов отыскания тупиковых форм.

6. Общезначимость, противоречивость, выводимость, теоремы о выводимости, метод резолюций для логики высказываний.

По определению общезначимой называется формула, которая истинна при всех интерпретациях. Существуют алгоритмы нахождения такой интерпретации, при которой формула ложна. Однако, если данная формула общезначима, то не существует такой интерпретации, при которой формула была бы ложна.

    Поскольку формула общезначима тогда и только тогда, когда ее отрицание противоречиво, то можно установить противоречивость отрицания данной формулы. Это служит основой для большинства современных автоматических алгоритмов поиска доказательства.

    Наиболее эффективно поиск доказательств общезначимости формул осуществляется методом резолюций. Процедура поиска доказательства методом резолюций фактически является процедурой поиска опровержения, то есть вместо доказательства общезначимости формулы доказывается, что отрицание формулы противоречиво.

    Суть метода резолюций состоит в следующем. Пусть S - множество дизъюнктов, которые представляют стандартную форму формулы F. Тогда F противоречива в том и только в том случае, когда противоречиво S. Если S содержит пустой дизъюнкт, то S невыполнимо. Если S не содержит пустой дизъюнкт, то проверяется, может ли пустой дизъюнкт быть получен из S.

    Процедура опровержения применима, если формула находится в стандартной форме, введенной Дэвисом и Патнемом. Для преобразования формулы к стандартной форме ими были использованы следующие положения:

1. в логике предикатов первого порядка формула может быть приведена к предваренной нормальной форме , когда матрица не содержит никаких кванторов, а префикс есть последовательность кванторов;

2. поскольку матрица не содержит кванторов, она не может быть представлена в конъюнктивной нормальной форме;

3. сохраняя противоречивость формулы, в ней можно уничтожить кванторы существования, заменив переменные, попадающие в область действия кванторов существования, константами.

    Дизъюнктом называется дизъюнкция литер. Множество литер можно рассматривать как синоним дизъюнкта.

    Дизъюнкт, содержащий n литер, называется n-литерным дизъюнктом.

    Однолитерный дизъюнкт называется единичным дизъюнктом.

    Дизъюнкт называется пустым, если он не содержит никаких литер. Пустой дизъюнкт всегда ложен, так как в нем нет литер, которые могли бы быть истинными при любых интерпретациях.