3. Алгебраическое представление двоичных чисел. Прямой, дополнительный и обратный коды.

В развернутой форме двоичные числа записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, развернутая запись двоичного числа 101 а будет иметь вид: 1*2² +0*2¹ +1*2⁰

Прямой n-разрядный двоичный код целого числа состоит из одноразрядного кода знака (двоичной цифры 0, если число положительное, или 1, если число отрицательное), за которым следует n−1-разрядное двоичное представление модуля числа.

Пример. Двоичное представление числа 5 есть 101. Прямой 10-разрядный двоичный код числа +5 есть 0000000101, а числа −5 — 1000000101.

Имеются два прямых кода числа 0: «положительный нуль» 0000000000 и «отрицательный нуль» 1000000000 (приведены 10-разрядные прямые коды).

n-разрядный прямой код позволяет представить числа от −2^{n − 1} − 1 до +2^{n − 1} − 1.

При записи числа в дополнительном коде, старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом. Если же знаковый разряд равен 1, то в остальных разрядах записано отрицательное двоичное число, преобразованное в дополнительный код. Для получения значения отрицательного числа все разряды, кроме знакового, инвертируются, а к результату добавляется единица. Обратное преобразование, то есть перевод из прямого в дополнительный код, осуществляется аналогично.

Двоичное 8-ми разрядное число может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах равно 2⁷ — 1

Примеры:

десятичный 8-битный двоичный

прямой дополнительный

-------------------------------------

0 00000000 00000000

1 00000001 00000001

-1 -00000001 11111111

-10 -00001010 11110110

Обратный n-разрядный двоичный код положительного целого числа состоит из одноразрядного кода знака (двоичной цифры 0), за которым следует n−1-разрядное двоичное представление модуля числа (обратный код совпадает с прямым кодом).

Пример. Двоичное представление числа 5 есть 101. Обратный 10-разрядный двоичный код числа +5 есть 0000000101.

Обратный n-разрядный двоичный код отрицательного целого числа состоит из одноразрядного кода знака (двоичной цифры 1), за которым следует n−1-разрядное двоичное число, представляющее собой инвертированное n−1-разрядное представление модуля числа.

Пример. Двоичное представление числа 5 есть 101, его 9-разрядное двоичное представление — 000000101. Обратный 10-разрядный двоичный код числа −5 есть 1111111010.

Имеются два обратных кода числа 0: «положительный нуль» 0000000000 и «отрицательный нуль» 1111111111 (приведены 10-разрядные обратные коды).

n-разрядный обратный код позволяет представить числа от −2^{n − 1} − 1 до +2^{n − 1} − 1.

4. Арифметические операции в двоичной системе счисления.

 Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел (табл. 6).                   Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления.

Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа :       Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и сложим их:        

Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел (табл. 7).

  

При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой.

Вычитание многоразрядных двоичных чисел реализуется в соответствии с этой таблицей с учетом возможных заемов в старших разрядах.

Для примера произведем вычитание двоичных чисел :

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел (табл. 8).

    

Умножение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с этой таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Рассмотрим пример умножения двоичных чисел