3. Оптимизация судовых систем на основе симплексных методов с постоянным и переменным шагами.

Симплекс с постоянным шагом.

Вершины обозначают соответственно показателям: 0 – наихудшая вершина; n – наилучшая. Если решаем задачу на максимум, то наихудшая вершина минимум.

Если мы заменим 1 вершину на симметричную ей, то получим новый симплекс. n+1 – отраженная вершина. Путем одного вычисления мы перешли от симплекса 01n к другому симплексу 1nn+1. Направление от отражающей вершины к отраженной достаточно близко к направлению градиента (чем меньше симплекс, тем точнее совпадает с градиентом). Симплексные методы можно рассматривать как градиентные, где вектор градиента определяется одним вычислением, и двигаемся дальше. Производим сравнение этих вершин и выбираем наилучшую и наихудшую. - это координаты центра тяжести всех вершин симплекса за исключением наихудшей вершины, т.е. центр тяжести n вершин симплекса. - худшая вершина, а - лучшая.

Отражаем наихудшую вершину; n+1 – наихудшая вершина в новом симплексе, соответственно надо отразить обратно, чтобы не зациклиться, мы отражаем следующую вершину.

Когда симплекс начинает вращаться вокруг одной точки, называется вращением симплекса. На этом мы заканчиваем вычисление. Точку, вокруг которой вращается симплекс, считаем оптимальной. Если одна и та же участвует в симплексах больше , где N–ная повторяющаяся точка, то в этом случае наступило вращение. Если вершина симплекса оказалась за границей, то она наихудшая и ее надо отразить. Таким образом, мы можем решать эту задачу с учетом всех ограничений.

Преимущества: Простота и отсутствие требований к оптимизируемой функции (не должно быть разрывов); Высокая эффективность метода: 1. Направление движения близко к градиенту, 2. Для получения нового симплекса необходимо измерить одну точку. Эффективность метода возрастает с увеличением числа переменных, 3. Любая ошибка оптимизации может замедлить процесс, но не приведет к его расхождению, 4. В процессе оптимизации можем изменять число оптимизируемых переменных, 5. Возможен учет любых видов ограничений.

Недостатки: 1. Этот метод аналог градиентного метода с постоянным шагом, следовательно, плохая точность; 2. Ищем локальный экстремум, чтобы найти глобальный экстремум, необходимо изменить симплекс и проделать несколько раз, чтобы точно понять, что приходим в одну и ту же точку. Этот метод целесообразно применять, когда время ограничено и мало.

Симплекс с переменным шагом.

Сначала симплекс большой, с каждым шагом уменьшается. Соотношение значений показателей в вершинах 1 и n такое же, как в 1’ и n’.

При вращении симплекса получается спираль, т.к. симплекс уменьшается.

2 метода определения изменений L – ребро симплекса:

1. 

2. - по экспоненте

Недостаток: не знаем, как выбрать и . Если условие не выполняется, то метод выражается в метод с постоянным шагом с размером ребра .

Преимущества: Вначале симплекс большой, но с каждым шагом уменьшается и увеличивается точность.

Недостатки: Закон уменьшения размеров симплекса зависит от введенных нами исходных данных и не зависит от вида оптимизационной поверхности и того насколько далеко мы от экстремума. Заранее принимаем закон изменения, не имея на то объективных данных.