Лабораторная работа № 1 Прогнозирование на основе временных рядов, методами экспертных оценок, выполнение комбинированной оценки прогноза

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ.

Задание 1. Выполнить прогноз на один период для исходных данных, представленных в табл.1, методом простого экспоненциального сглаживания и методом экстраполяции тренда. Сделать выводы о прогнозном значении показателя.

Таблица 1

Исходные данные для задания 1

Вариант	Значение показателя по годам
	2002	2003	2004	2005	2006
1	3.7	4	3.8	4.6	5.2
2	410	700	850	910	920
3	185	200	190	230	260
4	13	16	17	15	17
5	689	848	901	795	901
6	19.5	24	25.5	22.5	25.5
7	50	46	48	47	43
8	26	32	34	30	33
9	546	672	714	630	714
0	39	48	51	45	50

Задание 2. Выполнить прогноз на два периода для исходных данных, представленных в табл.2, методом экстраполяции тренда и методом экспоненциального сглаживания с учетом тренда (методом Хольта). Сделать выводы о прогнозном значении показателя.

Таблица 2

Исходные данные для задания 2

Вариант	Номер предпрогнозного периода
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	45	47	46	52	55	54	60	62	61	63
2	90	94	92	104	110	108	120	124	122	126
3	67.5	70.5	69	78	82.5	81	90	93	91.5	94.5
4	135	141	138	156	165	162	180	186	183	189
5	420	421	418	400	400	380	373	378	369	364
6	140	140	139	133	133	126	124	126	123	121
7	210	210.5	209	200	200	190	186	189	184	182
8	247	247	245	235	235	223	219	222	217	214
9	215	213	216	218	217	219	220	223	225	223
0	180	188	184	208	220	216	240	248	244	252

Задание 3. Выполнить прогноз на один период, содержащий полный цикл сезонных колебаний, для исходных данных, представленных в табл.3, методом экстраполяции тренда, методом экспоненциального сглаживания с тремя параметрами (методом Винтерса) и с помощью анализа Фурье.

Таблица 3

Исходные данные для задания 3

Год	Квар-тал	Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	I	300	10	200	240	210	175	350	20	140	15
	II	320	8	213	256	224	263	526	25	210	17
	III	325	12	217	260	228	326	652	26	261	12
	IV	295	10	197	236	207	297	594	23	238	11
2	I	310	11	207	248	217	247	494	22	198	16
	II	325	7	217	260	228	298	596	24	238	19
	III	340	14	227	272	238	366	732	25	293	10
	IV	305	9	203	244	214	341	682	19	273	9
Продолжение табл. 3
Год	Квар-тал	Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
3	I	315	13	210	252	221	420	840	22	336	19
	II	335	9	223	268	235	441	882	27	353	20
	III	350	16	233	280	245	453	906	26	362	13
	IV	310	10	207	248	217	399	798	24	319	11
4	I	320	12	213	256	224	426	852	24	341	20
	II	340	8	227	272	238	449	898	28	359	22
	III	355	17	237	284	249	482	964	26	386	15
	IV	320	11	213	256	224	460	920	25	368	13

Задание 4. Выполнить комбинированную оценку прогноза по результатам, полученным в первом задании и данным экспертного опроса (по вариантам). Необходимые данные по результатах экспертного опроса на 6 период приведены в табл. 4.

Таблица 4

Исходные данные для задания 4

Вариант 1		Вариант 2		Вариант 3		Вариант 4		Вариант 5
Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов
5.2	25	900	32	230	34	14	33	800	37
5.4	8	920	16	260	29	15	18	850	24
5.6	18	940	12	290	19	16	12	900	9
5.8	13	960	31	320	10	17	24	950	15
6	36	980	26	350	24	18	29	1000	30
6.2	47	1000	30	380	31	19	31	1050	32
Вариант 6		Вариант 7		Вариант 8		Вариант 9		Вариант 10
Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов	Значение показателя	Сумма рангов
20	48	34	42	31	26	560	42	48	25
22	35	37	20	33	9	600	34	50	8
24	18	40	11	35	14	640	20	52	21
26	10	43	17	37	20	680	16	54	15
28	14	46	25	39	32	720	10	56	30
30	22	49	32	41	46	760	25	58	48

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Метод экспоненциального (простого) сглаживания. Прогнозируемое значение y^*_t+1 в момент времени t+1 представляет собой сумму фактического значения показателя y_t и прогнозируемого значения y_t^* в момент времени t:

, (1.1)

где α – параметр сглаживания, определяющий значение веса, которое имеет самое последнее наблюдение при вычислении прогноза на один шаг; .

Процедура побора параметра α сводится к поиску такого значения , которое обеспечивает наименьшую погрешность – среднеквадратичное отклонение:

, (1.2)

где n – число учитываемых периодов времени (можно принять как число данных исходного ряда); m – количество параметров показательного сглаживания (модель (1.1) однопараметрическая, поэтому m=1).

Наилучшее значение параметра α может быть найдено с помощью процедуры «Поиск решения» MS Exсel. Пример организации рабочего листа книги MS Exсel приведен на рис.1.

Рис.1. Рабочий лист MS Exсel для выполнения задания 1

Как видно по рис.1, на рабочем листе необходимо разместить исходные данные (значение показателя) и экспоненциальные средние, рассчитанные по формуле (1.1). Экспоненциальные средние для периода t являются прогнозным значением для периода t+1. При расчете экспоненциальных средних необходимо сделать ссылки на ячейку, где размещается параметр сглаживания (на рис.1 эта ячейка пуста – изменяемая ячейка). В качестве начального условия принято фактическое значение показателя в период t=1. На рабочем листе также необходимо поместить ячейку, в которой размещается формула для расчета ошибки модели прогнозирования (формула (1.2)).

В меню «Сервис» выбрать процедуру «Поиск решения». В появившемся окне установить в качестве целевой ячейку с формулой для расчета ошибки модели прогноза, значение целевой функции следует минимизировать. Изменяемой ячейкой является ячейка, на которую были сделаны ссылки как на параметр сглаживания. Для параметра сглаживания необходимо ввести ограничения. После этого можно нажать кнопку «Выполнить». В результате будут получены значения параметра сглаживания, ошибки модели и значение прогноза показателя.

Доверительный интервал прогноза при небольшом числе наблюдений и при предположении о нормальном распределении прогнозных оценок определяется следующим образом

, (1.3)

где – прогнозное значение показателя; t_р – табличное значение t-критерия Стьюдента с k степенями свободы и уровнем значимости р. k – число степеней свободы, определяемое в зависимости от числа наблюдений (N) и числа оцениваемых параметров (z); k=N – z; модель однопараметрическая z=1.

Метод экстраполяции тренда. Прогнозирование можно свести к подбору аналитически выраженных моделей трендов типа y=f(t) по данным предпрогнозного периода и экстраполяции полученных трендов на интервале прогноза. Процедуру прогнозирования в этом случае можно представить в виде следующей последовательности:

Первый этап – подбор зависимости для описания уравнения тренда. Параметры модели прогнозирования определяются методом наименьших квадратов (МНК).

Если модель тренда является линейной y^*_t = a + b t, то расчет коэффициентов уравнения a и b производится по формулам:

a = (1.4)

b = (1.5)

Для расчета коэффициентов уравнения a и b составляется вспомогательная табл.5.

Таблица 5

Форма вспомогательной таблицы

ti,	yi,	ti2	yiti
1 2 3 4	13 16 17 15	1 4 9 16	13 32 51 60
Суммы

Также, уравнение тренда может быть подобрано с помощью табличного процессора Excel.

Этапы процедуры подбора уравнения тренда в Excel:

- в табличном процессоре Excel для рассматриваемой реализации построить график;

- направив курсор на построенный ряд, выделить его, щелкнув левой кнопкой мыши. Не сдвигая курсор, щелкнуть правой кнопкой и в появившемся окне выбрать «добавить линию тренда…»;

- на вкладке «тип» выбрать линейную зависимость, на вкладке «параметры» отметить поле «показать уравнение на диаграмме» (рис.2).

Следует отметить, что данная функция Excel позволяет подобрать наиболее оптимальную модель тренда. Для этого необходимо сопоставить коэффициенты достоверности аппроксимации для различных зависимостей, приведенных на вкладке «Тип» диалогового окна «Линия тренда». Чем ближе коэффициент достоверности аппроксимации к 1, тем точнее подобрана модель.

Рис. 2 Подбор тренда

Сравните результаты параметров трендовой модели, полученные различными методами.

Второй этап – продолжение полученного тренда за интервал значений, по которым строилась зависимость, или определение точечного прогноза. Для получения значения прогноза на t-ый год в уравнение тренда подставляются конкретные значения t.

Третий этап – расчет ошибки прогноза. Погрешность прогноза можно оценить по среднему квадратическому отклонению:

. (1.6)

где y^*_i – расчетные (теоретические) значения; y_i – фактические значения; k – число степеней свободы, определяемое в зависимости от числа наблюдений (N) и числа оцениваемых параметров (z); k=N – z; для линейного тренда z=2.

Для расчета ошибки прогноза можно во вспомогательную табл.5 включить два столбца, в одном из которых будут помещены расчетные значения показателя, в другом – квадраты разностей между фактическими и расчетными значениями.

Четвертый этап – определение интервала прогноза. При этом следует учитывать, что погрешность прогноза растет при увеличении периода упреждения. При определении интервального прогноза среднее квадратическое отклонение, рассчитанное по формуле (1.6), умножают на коэффициент, который зависит от продолжительности наблюдения (N) и периода упреждения (L):

. (1.7)

Следовательно, формулу (1.3) для определения доверительных границ интервала прогноза можно записать

. (1.8)

Метод экспоненциального сглаживания с двумя параметрами (метод Хольта) состоит из трех уравнений:

сглаживание данных

; (1.9)

сглаживание тренда

; (1.10)

прогноз на период t+k

, (1.11)

где а_t – сглаженное значение прогнозируемого показателя для периода t; b_t – оценка прироста тренда, показывающая возможное возрастание или убывание значений за один период; α, β – параметры сглаживания ( ; ); k – количество периодов времени, на которые производится прогноз.

При выполнении задания следует рассмотреть два варианта начальных условий. Первый вариант: в качестве начальных условий для сглаживания данных принимается значение показателя за первый период, для сглаживания тренда начальное условие равно нулю. Второй вариант: в качестве начальных условий для сглаживания данных принимается среднее значение показателя за пять периодов, для сглаживания тренда начальное условие равно оценке наклона прямой, образованной этими пятью значениями показателя. Оценку наклона прямой, образованной пятью точками, можно найти с помощью метода наименьших квадратов по формуле (1.5) или воспользовавшись специальными программами, например, MS Excel.

Для того чтобы не перебирать разные значения параметров сглаживания, следует воспользоваться процедурой «Поиск решения» MS Exсel. Целевая ячейка – значение ошибки модели прогноза, рассчитываемой по формуле (1.2), в которой число параметров равно 2. Изменяемые ячейки – значения параметров сглаживания.

На рабочем листе книги можно создать таблицу, форма которой представлена в табл.6.

Таблица 6

Форма таблицы для прогнозирования методом Хольта

Период, t	Значение показателя, yt	Сглаживание данных, at	Сглаживание тренда, bt	Прогноз y*t	(yt- y*t)2
				-	-
Сумма	-	-	-	-

Учет сезонности в трендовых моделях прогнозирования. Алгоритм прогнозирования с учетом сезонной составляющей по трендовым моделям состоит из пяти этапов:

Первый этап заключается в определении структуры сезонных изменений и периода этих колебаний.

Второй этап – это оценка и исключение тренда. Для оценки тренда можно использовать линии тренда или метод скользящих средних, предусматривающий вычисление последовательности скользящих средних по m узлам, где m – продолжительность сезонных колебаний.

Если m – нечетное, то первое значение скользящего среднего (среднее от первого до m-го значения ряда) присваивается (m+1)/2 точке (например, если m =7, первое скользящее среднее присваивается четвертой точке). Аналогично следующее значение скользящего среднего (среднее от второго до (m+1)-го значения назначается (m+3)/2 точке и т.д.).

Если m – четное, то задача несколько усложняется, так как средние точки будут расположены между точками, по которым выполнялся расчет. Например, если m =4, то первое скользящее среднее окажется между второй и третьей точкой, втрое скользящее среднее – между третьей и четвертой и т.д. В этом случае требуется процедура центрирования полученных значений. Центрированное значение находится как среднее от двух скользящих средних, находящихся между точками. Например, центрированное значение для третьей точки – это среднее от скользящих средних, расположенных между второй и третьей, третьей и четвертой точками.

Третий этап – определение сезонной компоненты. Дальнейшие расчеты будут зависеть от выбора вида модели прогноза. Для аддитивной модели:

, (1.12)

где y^*_t – прогнозные значения временного ряда; - среднее значение прогноза (тренд); s_t – составляющая прогноза, отражающая сезонные колебания; - случайная величина отклонения прогноза, обусловленного стохастическим характером социально- экономических процессов, оценка сезонной компоненты рассчитывается как разность между фактическим значением и значением, определенным по трендовой модели (первый вариант оценки тренда), или фактическим значением и скользящей средней (при нечетном m) или фактическим значением и центрированной средней (при четном m), если использовался второй вариант оценки тренда.

Для мультипликативной модели прогноза:

, (1.13)

где I_s – коэффициент (индекс), учитывающий сезонные колебания, при первом варианте оценки тренда находится отношение фактических значений показателя к расчетным, определенным по трендовой модели. Во втором варианте оценки тренда находится отношение фактических значений показателя к скользящей средней (при нечетном m) или к центрированной средней (при четном m). Такое отношение называется индексом (коэффициентом) сезонности.

Для того чтобы дальше использовать значения сезонной компоненты и коэффициентов сезонности, необходимо найти средние значения оценок (коэффициентов) для каждого сезона. Далее полученные средние значения следует скорректировать таким образом, чтобы сумма оценок сезонной компоненты для аддитивной модели равнялась нулю (это позволит усреднить значения сезонной компоненты за весь период колебаний), а сумма коэффициентов (индексов) сезонности равнялась числу сезонов.

Четвертый этап – прогнозирование на основе данных, из которых исключена сезонная составляющая. Этот этап выполняется в том случае, если на втором этапе мы выбрали для оценки тренда метод скользящих средних. Для прогнозирования выбирается трендовая модель с помощью метода наименьших квадратов или экспоненциальное сглаживание.

Пятый этап – вычисление ошибки модели прогноза. Из фактического значения вычитается сезонная компонента и тренд (аддитивная модель), для полученных остатков определяется среднее квадратическое отклонение. В мультипликативной модели из фактического значения вычитается произведение индекса сезонности и тренда. По полученным остаткам также рассчитывается ошибка прогноза.

Экспоненциальное сглаживание с тремя параметрами, отражающими тренд и сезонность изменений (модель Винтерса) включает четыре уравнения:

сглаживание исходного ряда

; (1.14)

сглаживание тренда

; (1.15)

оценка сезонности

; (1.16)

прогноз на р периодов вперед

, (1.17)

где L_t – сглаженное значение ряда;  – параметр сглаживания данных; y_t – фактическое значение показателя для периода t;  – параметр сглаживания для оценки тренда; T_t – оценка тренда;  – параметр сглаживания для оценки сезонности; S_t – оценка сезонности; p – количество периодов, на которое строится прогноз; s – длительность периода сезонных колебаний.

Параметры сглаживания должны соответствовать условиям:

; ; .

Прежде чем применять уравнения (1.14)-(1.17) необходимо задать начальные условия. Существует два варианта выбора начальных условий в модели Винтерса. Первый предполагает, что начальное значение сглаженного ряда (L_s) равно первому наблюдению. Тогда тренд (T_s) равен нулю, а коэффициенты сезонности (S_t-s) устанавливаются равными 1. Второй вариант назначения начальных условий предполагает, что начальное значение для сглаженного ряда (L_t-1) равно среднему значению за первые s наблюдений. Тогда начальные условия для тренда (T_t-1) определяются наклоном прямой, образованной этими наблюдениями. Коэффициенты сезонности равны

, (1.18)

где L_s – начальное условие для сглаживания данных.

Параметры сглаживания могут быть определены путем минимизации ошибки прогнозирования с помощью процедуры «Поиск решения» MS Exсel.

Анализ Фурье. При применении этого метода сначала также оценивается и удаляется тренд. Для полученных остатков подбирается кривая, которая описывается формулой

, (1.19)

где а₀, a_k, b_k – параметры модели, k – номер гармоники (обычно от 1 до 4).

Для применения этого метода необходимо, чтобы количество точек исходного ряда являлось степенью числа 2, например, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Применение анализа Фурье для выявления сезонных колебаний можно представить в виде следующей последовательности:

1) Подбор линии тренда.

2) Из исходного ряда отнять значения тренда (будут получены остатки).

3) В меню «Сервис» выбрать команду «Анализ данных». В появившемся окне найти инструмент анализа «Анализ Фурье». В качестве входного интервала следует выбрать полученные на предыдущем этапе расчета остатки. Из полученных комплексных чисел необходимо выделить действительную и мнимую части. Для этого используются инженерные функции, для действительной части – «=МНИМ.ВЕЩ()», для мнимой части – «МНИМ.ЧАСТЬ()». Обозначим выявленную действительную часть как y_d, мнимую часть – y_m.

4) Определить коэффициенты модели (1.19). Коэффициенты а_k для определяются следующим образом (на примере двух гармоник):

; ; , (1.20)

где N – количество точек исходного ряда;

Коэффициенты b_k определяются как

; ;;. (1.21)

5) Перевести обычную линейную переменную (t=1, 2, 3, …, 8) в радианную с помощью формулы

. (1.22)

5) Рассчитать гармоники.

6) Сложить гармоники и получить итоговую модель, описывающую остатки.

7) Определить ошибку прогноза.

Комбинированная оценка прогноза производится только для непротиворечивых прогнозов. Поэтому прежде чем приступить к комбинированному прогнозу, необходимо произвести логический анализ прогнозов, полученных различными методами, и оценить их непротиворечивость. Для этого сначала следует произвести статистическую обработку экспертных оценок – найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение для экспертного прогноза. Каждому значению прогноза присваивается новый номер таким образом, что разряду с наименьшей суммой баллов присваивается номер 1 и т.д. Вероятности гипотез определяются по формуле:

(1.23)

где i – ранг, соответствующий значению Y_i, которые предлагались экспертам при опросе; n - обще количество рангов.

Для «экспертной» плотности распределения находятся среднее значение (значение экспертного прогноза):

(1.24)

и дисперсия (корень из дисперсии – ошибка прогноза):

(1.25)

Результаты расчетов удобно оформить в таблицу 5.

Таблица 5

Значение показателя, Yi	Сумма рангов	Ранг, i	Вероятность экспертного прогноза, Qi	Данные для расчета дисперсии (Yi – Yэ)2 Qi

Затем прогнозы проверяются на непротиворечивость. Если прогнозы согласованы, то определяются весовые коэффициенты прогнозов по формуле:

, (1.26)

где N – количество прогнозов, участвующих в комбинированной оценке.

Далее рассчитываются среднее значение комбинированного прогноза

, (1.27)

дисперсия комбинированного прогноза

, (1.28)

где _i² – дисперсия i-го прогноза,

и вероятности комбинированного прогноза.

Для определения вероятности комбинированного прогноза предварительно необходимо найти плотность распределения для прогноза, полученного, например, по трендовой модели. При этом принимается, что данные прогнозные оценки распределены нормально. Вероятность прогноза равна:

. (1.29)

СТРУКТУРА ОТЧЕТА

Задание 1.

1. Расчет прогнозного значения показателя методом экспоненциального сглаживания, ошибки и доверительного интервала прогноза.

2. Расчет прогнозного значения показателя методом экстраполяции тренда, ошибки и доверительного интервала прогноза (обязательно приводится вспомогательная табл.5).

3. Выводы о прогнозном значении показателя.

Задание 2.

1. Расчет прогнозного значения показателя методом экстраполяции тренда, ошибки и доверительного интервала прогноза.

2. Расчет прогнозного значения показателя методом Хольта при разных вариантах назначения начальных условий, ошибки и доверительного интервала прогноза.

3. Выводы о прогнозном значении показателя на основании сравнении трех вариантов прогноза.

Задание 3.

1. Расчет прогнозного значения показателя с помощью аддитивной и мультипликативной моделей прогноза, ошибки и доверительного интервала прогноза (обязателен вывод о выборе модели из четырех вариантов: аддитивная и мультипликативная модели с треном и методом скользящего среднего).

2. Расчет прогнозного значения показателя методом Винтерса при разных вариантах назначения начальных условий, ошибки и доверительного интервала прогноза.

3. Расчет прогнозного значения показателя с помощью анализа Фурье.

4. Выводы о прогнозном значении показателя на основании сравнении вариантов прогноза.

Задание 4.

1. Статистическая обработка результатов экспертного опроса.

2. Проверка согласованности прогнозов.

3. Комбинированная оценка прогноза (среднее значение, отклонение, плотность распределения).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем суть метода простого экспоненциального сглаживания?

2. Какова значимость последних данных в Вашем исходном ряде?

3. В каких случаях экспоненциальное сглаживание дает неудовлетворительный прогноз?

4. В чем суть метода экстраполяции тренда?

5. Каковы недостатки метода наименьших квадратов?

6. Чем объясняется тот факт, что модель прогнозирования имеет ошибку?

7. В чем отличие формул (1.3) и (1.8) для расчета интервальной оценки прогноза? Для чего вводится коэффициент K?

8. Насколько быстрый отклик на происходящие изменения дает Ваша модель Хольта?

9. Какой вариант определения начальных условий более предпочтителен для Ваших исходных данных в заданиях 2 и 3? Почему?

10. Какая модель (аддитивная и мультипликативная) предпочтительна для Ваших исходных данных?

11. Какой вариант выделения тренда (линейная модель или применение метода скользящих средних) предпочтителен для Ваших исходных данных?

12. Каковы достоинства и недостатки методов, используемых для прогнозирования показателей с учетом сезонности?