10 Решение алгебраических уравнений

10.1 Численное решение системы линейных алгебраических уравнений

При численном решении систем линейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом - директивой Given. Блок имеет следующую структуру:

Задание начальных приближений

Given

Уравнения

Ограничительные условия выражения с функцией find

10.2 Численное решение нелинейных алгебраических уравнений

В MathCAD корни алгебраических уравнений и систем определяются с помощью следующих встроенных функций:

1) Функция root(expr, var) вычисляет действительное значение переменной var, при котором выражение expr равно нулю, т.е. она вычисляет один действительный корень уравнения. При этом необходимо задать его начальное приближение. Ниже приведен пример

использования этой функции для нахождения действительного корня уравнения x2+2x+1 = 0.

2) Функция polyroots(v) позволяет вычислять все корни полинома. Например, для решения уравнения 8х+2х+3=0 набираем или считываем из таблицы функций (кнопка f(x)) функцию polyroots и в скобках заполняем вектор, вставляя коэффициенты уравнения. Нажимаем клавишу = и получаем ответ:

10.3 Решение алгебраических уравнений в аналитической (символьной) форме

Символьное решение линейных систем алгебраических уравнений производится с помощью двух операций: Solve и lsolve. Ниже показано решение систем линейных уравнений различными методами. Пусть система линейных алгебраических уравнений задана матрицей М коэффициентов и вектором v правых частей. Найти аналитическое решение.

Сначала вводим матрицу и вектор.

А) Решение с использованием встроенной функции lsolve. Функция набирается с клавиатуры или из окна встроенных функций. Стрелка набирается с панели символьных решений.

Здесь помимо оператора solve использован оператор float (плавающая точка) и задана точность решения – 4 знака.

В) Решение системы с буквенными коэффициентами с созданием решающего блока и директивы Given.

11 Поиск экстремума функции

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум. Для решения задач поиска максимума и минимума в Mathcad имеются встроенные функции Minimize и Maximize.

Необходимо найти минимум и максимум функции f(х)=х4+5х3-10х, график которой представлен на рисунке 7.

Существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются различные локальные экстремумы. В последнем случае численный метод вообще не справляется с задачей, поскольку начальное приближение х=- 10 выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения f(х). Поэтому целесообразно указывать области определения аргументов функции. В Mathcad решение находится с помощью директивы Given.

Например, найдем минимум функции на интервале [-5;-2] и максимум функции на интервале [-2;0]: