Тема 2. Счетные и несчетные множества

1. Счетные множества и их свойства. Примеры.

2. Счетность множества рациональных и алгебраических чисел.

3. Несчетность множества действительных чисел отрезка [0;1]. Несчетность произвольного отрезка числовой прямой и множества действительных чисел.

4. Множества мощности континуум. Сравнение мощностей.

5. Мощность множества подмножеств. Континуальность множества подмножеств счетного множества.

6. Существование множеств сколь угодно большой мощности.

7. Теорема Кантора-Бернштейна.

См. список литературы: [4, гл. 1.7 – 1.9, 2.1 – 2.3]; [5, гл. 1.3 – 1.5].

Краткие теоретические сведения

Если два множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность. Мощность множества А будем обозначать . Мощность конечного множества К равна числу его элементов. Обозначение мощности множества N натуральных чисел – a: = a. Если = a, то А называется счетным множеством. Все бесконечные множества, не являющиеся счетными, – несчетны.

Множество точек отрезка [0; 1] – несчетно. Его мощность называется мощностью континуума и обозначается с. Множества, эквивалентные отрезку [0; 1], имеют мощность континуума.

Пусть множество А не эквивалентно множеству В и существует множество В^* В такое, что А ~ В^*, но В не эквивалентно никакому подмножеству из А. Тогда говорят, что множество В имеет большую, а А меньшую мощность, т.е. < .

В частности, мощность счетного множества меньше мощности континуума, кроме того, с = 2^а.

Все указанные в литературе теоремы об арифметике счетных и несчетных множеств укладываются в следующую схему:

a – n = a;	c – n = c;
a + n = a;	c + n = c;
n1 + n2 + …+ nk + … = a;	c – a = c;
a + a + … + a = a;	c + a = c;
a + a + … + a + … = a;	c + c + … + c = c;
	c + c + … + c + … = c.

Здесь n – мощность конечного множества, а – мощность счетного множества, с – мощность континуума.

Например, теорема «сумма счетного числа конечных множеств имеет мощность а» по схеме имеет вид: n₁ + n₂ + …+ n_k + … = a;

теорема « счетная сумма множеств мощности континуума имеет мощность с» запишется: c + c + … + c + … = c.

Если в задаче необходимо установить мощность некоторого множества А, то сделать это можно двумя способами.

1 способ. Подбирается некоторое эквивалентное А множество В с известной мощностью (А ~ В). Констатируется: = . Например, так решается задача № 28.

2 способ. Множество А представляется в виде суммы конечной или счетной совокупности множеств, мощности которых известны. Применяя соответствующие теоремы, определяют мощность множества А. Например, так решается задача № 27.

Задачи

18. Какова мощность множества целых чисел?

19. Какова мощность множества рациональных чисел?

20. Какова мощность множества точек на плоскости с рациональными координатами?

21. Какова мощность множества треугольников, координаты вершин которых – рациональные числа?

22. Какова мощность множества кругов, координаты центра и радиусы которых являются рациональными числами?

23. Пусть Q – множество рациональных чисел. Какова мощность множества Q [a; b]?

24. Какова мощность множества многочленов с целыми коэффициентами?

25. Число называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Какова мощность множества алгебраических чисел?

26. Все неалгебраические числа (см. задачу № 25) называются трансцендентными. Какова мощность множества действительных трансцендентных чисел?

27. Какова мощность множества иррациональных чисел?

28. Доказать, что множество интервалов с рациональными концами счетно.

29. Доказать, что множество попарно непересекающихся интервалов не более чем счетно.

30. Пусть f: R → R. Говорят, что f(x) имеет локальный экстремум в точке а, если существует такой интервал U, содержащий точку а, что f(x) < f(a) (f(x) > f(a)) для всех х U \ {a}. Доказать, что множество локальных экстремумов функции f(x) не более чем счетно.

31. Пусть Е R. Точка а множества Е называется изолированной, если существует такой интервал Р, содержащий точку а, что Р Е = {a}. Доказать, что множество изолированных точек множества Е не более чем счетно.

32. Пусть f: R → R – монотонная функция. Доказать, что f(x) имеет не более чем счетное множество точек разрыва.

33. Показать, что если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо друг от друга принимает множество значений мощности с, то множество А имеет мощность с.

34. Какова мощность множества всех точек плоскости?

35. Пусть М = {f(x)} – множество всех непрерывных на [a; b] функций. Доказать, что = с.

36. Какова мощность множества всех монотонно возрастающих (убывающих) непрерывных на [a; b] функций (см. задачу № 35).

37. Какова мощность множества всех конечных подмножеств счетного множества?

38. Какова мощность множества всех бесконечных подмножеств множества натуральных чисел?

39. Какова мощность множества всех конечных подмножеств множества мощности с?

40. Какова мощность множества всех бесконечных подмножеств множества действительных чисел?