8.2.2. Синтаксис ламбда-исчисления

Проиллюстрируем формализацию синтаксиса посредством нотации БНФ, рассмотрев в качестве примера формальной системы хорошо знакомое нам по предыдущим лекциям ламбда-исчисление.

<выражение> ::= <константа> | <переменная> |

( <выражение> <выражение> ) |

λ <переменная> . <выражение>

В данном примере определяется понятие выражения, синтаксическое представление которого может быть выражено в виде одной из следующих альтернатив:

1. константы;

2. переменной;

3. двух выражений, заключенных в круглые скобки, т.е. знакомой нам операции аппликации ламбда-выражений;

4. символа λ, за которым следует переменная, точка и выражение, т.е. знакомой нам операции абстракции.

8.2.3. Синтаксис sml

Синтаксис языка программирования SML имеет ряд очевидных аналогий с синтаксисом ламбда-исчисления. Эти аналогии являются неизбежными как в силу функциональной природы рассматриваемого языка программирования, так и на том основании, что язык SML разрабатывался как средство доказательства теорем, а, значит, его синтаксис (а, забегая вперед, заметим, что и семантика) должен быть прозрачен математически.

Для иллюстрации перечисленных выше тезисов рассмотрим важнейшие синтаксические категории языка программирования SML.

Выражение - это обозначение конструкции языка, которой может быть присвоено значение (константы, переменной, функции и т.д.).

Описание – это запись, связывающая выражение языка программирования с именем, обозначающим его в программе (идентификатором).

"Зарезервированное" (служебное) слово – это конструкция языка, однозначно интерпретируемая в качестве инструкции языка программирования (например, "if", "then", "let"). Напомним, что в данной нотации цитирование производится без кавычек или других символов-ограничителей.

Комментарий - это произвольный поясняющий текст к программе, который, согласно синтаксису языка SML, положено заключать в ограничители вида "(*" и "*)".

Синтаксис выражения

Рассмотрим структуру основных синтаксически допустимых типов выражений языка.

Приведем соответствующую формализацию в терминах БНФ.

<выражение> ::= <идентификатор> | <литерал> |

<выражение> <выражение> |

<выражение> <идентификатор> <выражение>

Как видно из БНФ-формализации, синтаксически корректным выражением в языке программирования SML считается:

1. идентификатор (т.е. имя переменной, константы, функции или типа, обычно представляемой в виде алфавитно-цифровой последовательности ограниченной длины и начинающейся с буквенного символа) или

2. литерал (литералы будут рассмотрены далее в ходе лекции) или

3. последовательность из двух выражений или

4. последовательность из двух выражений, соединенных идентификатором.

В дополнение к перечисленным альтернативам, синтаксически допустимыми выражениями языка программирования SML, также являются:

if <выражение> then <выражение>

else <выражение> |

( <выражение> ... <выражение> ) |

let <описание> in <выражение> end |

( <выражение> )

1. Три выражения, соединенные зарезервированными словами if ("если"), then ("тогда") и else ("в противном случае"), называемые условным выражением и фактически представляющие собой предикатную функцию, которая реализует выполнение второго выражения в случае истинности первого и выполнение третьего в противном случае;

2. Конечную последовательность выражений, заключенную в круглые скобки (или так называемый кортеж) и применяемую для структуризации данных;

3. Описание и выражение, соединенные зарезервированными словами let ("положим"), in ("в") и end ("конец"), которые определяют операцию подстановки описания в выражение с учетом всевозможных вхождений в него указанного фрагмента описания;

4. Выражение, заключенное в круглые скобки (как мы уже знаем, в ламбда-исчислении и комбинаторной логике эту операцию можно производить без ограничений) и используемое для явного указания приоритета операции.

Синтаксис описания

Перейдем к рассмотрению структуры синтаксически допустимых видов описаний объектов языка.

Приведем соответствующую формализацию в терминах БНФ.

<описание> ::=

val < идентификатор > = < выражение > |

fun < идентификатор > < идентификатор > =

< выражение > |

local < описание > in <описание> end

Синтаксически допустимыми описаниями языка программирования SML, как следует из представленной БНФ, являются:

1. Идентификатор и выражение, соединенные зарезервированными словами val и "=", которые обозначают связывание идентификатора (переменной, константы или другого синтаксически допустимого объекта языка программирования) с тем или иным выражением;

2. Три идентификатора и выражение, соединенные зарезервированными словами fun и "=", которые обозначают связывание функции (обозначенной первым идентификатором) с параметром (обозначенным вторым идентификатором) с выражением, определяющим порядок вычисления значения;

3. Два описания, соединенные зарезервированными словами local, in и end, которые обозначают локальное определение первого описания в контексте второго.

Синтаксис типу

Перейдем к рассмотрению структуры синтаксически допустимых описаний типов объектов языка.

Приведем соответствующую формализацию в терминах БНФ.

<тип> ::= int | bool |

<тип> * ... * <тип> |

<тип> -> <тип>

Как следует из представленной БНФ, синтаксически допустимыми типами языка программирования SML являются:

1. Целочисленные величины, обозначаемые зарезервированным словом int;

2. Логические значения, обозначаемые зарезервированным словом bool;

3. Кортежи - упорядоченные n-ки элементов определенных типов;

4. Функции - упорядоченные n-ки элементов определенных типов, соединенных зарезервированными символами "->".

Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий приписывание типов в языке SML. Константа типа кортеж вида (0,false,1,true) имеет тип (int*bool*int*bool).

Заметим, что варианты типов (1) и (2) являются элементарными, тогда как (3) и (4) представляют собой производные типы с явно указанной (или выводимой) структурой, откуда и происходит название "структурированный тип".

Рассмотрим такие синтаксические категории как литералы, или базовые типы SML, состоящие из определенных последовательностей символов.

Синтаксические особенности основных видов литералов

Приведем соответствующую формализацию в терминах БНФ.

<литерал> ::= <литерал целого типа> |

<литерал строкового типа> |

<литерал вещественного типа>

Как следует из представленной БНФ, синтаксически допустимыми типами литералов в языке программирования SML являются следующие:

1. Целочисленные литералы, имеющие тип int и лежащие в диапазоне от -2³⁰ до +2³⁰ (последнее обстоятельство связано с особенностями машинного представления данных);

2. Строковые литералы, имеющие тип string и представляющие собой алфавитно-цифровые последовательности символов в коде формата ASCII;

3. Вещественные литералы, имеющие базовый тип real, обобщенную форму вида M x 10^E, где M - мантисса в диапазоне от -1 до +1, а E - порядок в соответствующем диапазоне.

Заметим, что значение (т.е. семантика) литералов в полной мере определяется их лексическим (а, значит, и синтаксическим) представлением.

Продолжим обсуждение синтаксических категорий языка программирования SML.

Аппликация функций

Перейдем к рассмотрению фундаментальной с точки зрения формализации языков функционального программирования - ламбда-исчисления - операции аппликации функций.

Соответствующая формализация в терминах БНФ имеет вид:

<выражение> <выражение>

Как следует из представленной БНФ, синтаксически допустимая конструкция языка программирования SML, описывающая операцию аппликации, весьма точно соответствует описанию операции аппликации в ламбда-исчислении.

Проиллюстрируем аппликацию функции к аргументу в языке программирования SML следующим примером.

Рассмотрим функцию succ, которая задается определением

fun succ n = n+1;

и осуществляет прибавление единицы к (целочисленному) аргументу.

Для рассматриваемой функции succ синтаксически корректная аппликация может иметь вид succ 2 и вычисляться в ходе выполнения программы в значение 3.

Синтаксис условных выражений

Перейдем к рассмотрению синтаксически допустимых конструкций языка программирования SML, называемых условными выражениями.

Соответствующая формализация в терминах БНФ имеет вид:

if <выражение> then <выражение> else <выражение>;

Как видно из БНФ-формализации, синтаксически корректное  условное выражение состоит из трех подвыражений, соединенных зарезервированными словами if, then и else, уже упоминавшихся нами в ходе лекции.

Добавим к сказанному ряд необходимых замечаний.

1. Результатом вычисления первого выражения должно быть логическое значение.

2. Типы второго и третьего выражений должны совпадать. Наконец, часть условного выражения, начинающаяся с else, не является обязательной.

3. Заметим также, что функции сравнения встроены в язык SML и имеют вид: "=" (равно), "<" (меньше), ">" (больше), "<=" (меньше или равно), ">=" (больше или равно), "<>" (не равно). Результатом вычисления любой из этих функций является логическое значение.

Проиллюстрируем синтаксис условного выражения следующим примером на языке SML:

if n>=10 then 1 else 0;

Заметим, что приведенное выражение может использоваться для анализа параметра функции, вычисляющей, например, количество разрядов десятичного числа.

Синтаксис let-выражений

Рассмотрим структуру синтаксически допустимых конструкций, известных под названием let-выражений.

Приведем соответствующую формализацию в терминах БНФ:

let <описание> in <выражение> end;

Как видно из БНФ-формализации, синтаксически корректное let-выражение состоит из описания и выражения, соединенных зарезервированными словами let, in и end.

Как можно заключить из синтаксиса, let-выражение представляет собой ни что иное, как подстановку значения в ламбда-абстракцию. Let-выражения используются в языке программирования SML для связывания значений и оптимизации вычислений, в частности, для обеспечения многократного вычисления повторяющихся фрагментов программы.

Проиллюстрируем синтаксис let-выражений примерами из языка программирования SML.

Рассмотрим следующие let-выражения:

let val n=2 in n+1 end;

let k=9876*8765 in (k-1, k, k+1) end;

Как можно заметить, первое выражение представляет собой ни что иное, как подстановку, которую можно формализовать ламбда-термом вида (λx.x + 1) 2. Второе выражение позволяет свести многократное вычисление громоздкой операции (умножения) к однократному.

Синтаксис кортежа

Рассмотрим подробнее весьма важный (в особенности при реализации функций) вид синтаксических конструкций языка программирования SML, который описывает понятие кортежа.

Кортежем называется группа, состоящая, по меньшей мере, из двух выражений (возможно, имеющих разные типы), объединенная в обособленную совокупность.

Приведем формализацию синтаксически допустимого представления кортежа в терминах БНФ:

(<выражение>, ..., <выражение>)

Заметим, что кортежи используются в SML для реализации многоместных (имеющих более одного аргумента) функций, а более широко в теории и практике программирования - в реляционных базах данных (в которых данные представляются в виде таблиц), поскольку кортеж представляет собой, по сути, строку такой таблицы.

Проиллюстрируем синтаксис конструкции кортежа примерами из языка программирования SML:

Пример 1: (1, 2*1, 2*2*1)

Пример 2: (1, true, 0, false)

Заметим, что в случае единственного выражения кортеж вырождается в выражение в скобках. Естественно, что любое SML-выражение можно заключить в скобки, например для явного указания приоритета аппликаций, арифметических и логических операций.

Синтаксис описания переменных и функций

Рассмотрим формализации синтаксически корректных описаний переменных и функций в терминах БНФ.

Описание переменной:

<описание> ::=

val <идентификатор> = <выражение>

Описание функции:

<описание> ::=

fun <идентификатор> <идентификатор> =

<выражение>

Оба определения имеют сходную структуру.

Проиллюстрируем формальные описания переменных и функций следующими примерами:

Пример 1. val x=2;

Пример 2. fun fact n =

if n<2 then 1

else n * fact (n - 1);

Пример 3. fun f (x,y) = x*x + y*y;

Первый из приведенных примеров представляет собой описание (целочисленной) переменной x, второй - рекурсивной (самоприменимой) функции fact вычисления факториала (произведения натуральных чисел от 1 до n), а третий - двухместной функции f, вычисляющей сумму квадратов аргументов.

Заметим в заключение, что именно при реализации последней функции используются кортежи (поскольку синтаксис SML в "чистом" виде, как следует из БНФ, допускает применение только одноместных функций).

Выводы по лекции 8

В данной лекции были рассмотрены основные виды синтаксических конструкций языка программирования SML. По итогам обсуждения можно сделать следующие выводы:

• синтаксис языков функционального программирования достаточно близок к синтаксису формальных теорий, на которых они основаны (в частности, это справедливо для ламбда-исчисления и языка SML);

• БНФ являются актуальной и адекватной формализацией синтаксиса языка;

• язык программирования SML, в отличие от ранних языков функционального программирования, имеет ряд расширенных конструкций (кортежи, let-выражения и др.).

Для более подробного самостоятельного ознакомления с тематикой лекции рекомендуется следующий список источников: [24, 58].

Лекция 9. Семантика языков программирования

В лекции излагаются основополагающие принципы, история развития, существующие подходы и выразительные возможности семантического представления формальных теорий и языков программирования.

Представим построение денотационной семантики важнейших функций языка программирования SML.

Напомним, что история развития теории и практики семантического анализа языков программирования была рассмотрена во вступительной лекции.

Прежде всего, рассмотрим неформальную семантику языков программирования.

Для построения адекватной и удобной в использовании семантики необходимо, прежде всего, определить критерии, характеризующие "хороший" язык программирования.