2.3 Полуэмпирический логарифмический закон распределения скорости в трубе

Будем полагать, что поток между сечениями 1-1 и 2-2 на рисунке 2.3 состоит из двух слоев и в пределах этих слоев справедливы соотношения:

, ,

(2.17)

, ,

где  - путь смещения.

Рассмотрим течение в ламинарном подслое. Для него при уравнение неразрывности имеет вид:

Так как согласно (2.11) и (2.12) , то из него следует v=0. Поэтому проекция на ось х уравнения Навье-Стокса запишется следующим образом:

(2.18)

Дважды интегрируя его, получим:

где - напряжение трения на стенке .

При из (2.15) получим или . Подставив найденное значение в предыдущую формулу, получим распределение скорости в ламинарном подслое:

(2.19)

Так как , то приближенно можно записать:

(2.20)

Формула (2.20) дает хорошие результаты как для трубы, так и для плоской стенки.

Если ввести условную скорость (скорость трения, динамическую скорость):

(2.21)

то формулу (2.20) можно переписать в виде:

(2.22)

где - универсальная скорость; - универсальная координата.

Рассмотрим теперь течение жидкости в турбулентном ядре при .В формуле (2.16) левая часть характеризует отношение напряжений, действующих на верхнерасположенный слой жидкости со стороны нижерасположенного. Используя третий закон Ньютона, из этой формулы получим:

где - напряжение трения, действующее на нижерасположенный слой жидкости со стороны верхнерасположенного.

Используя формулы (2.17) и (2.21), найдем:

Путь смешения определим по формуле А.А. Саткевича [3]:

(2.23)

где - эмпирическая константа.

Подставив (2.23) в предыдущую формулу, получим закон распределения скорости в дифференциальной форме:

Интегрируя его, найдем логарифмический закон распределения скорости в турбулентной области трубы или плоской стенки:

(2.24)

Для определения константы С_о определим из (2.22) скорость на границе ламинарного подслоя:

(2.25)

Используя это значение, из (2.24) найдем:

Тогда (2.24) можно переписать в виде:

(2.26)

где

Согласно эксперименту . Подставив , получим С =5,5, справедливое для гладких стенок. В этом случае формула (2.26) примет вид:

(2.27)

Толщина вязкого подслоя равна:

Следовательно, формула (2.27) применима при . На практике ее применяют обычно при вплоть до оси трубы. Закон (2.27) хорошо подтверждается опытом в широком диапазоне изменения числа Re.

Опыты показывают, что чисто ламинарное течение в ламинарном подслое наблюдаются при , то есть при . Тем не менее, в расчетах часто пользуются формулой .

Число Re, составленное для ламинарного подслоя, имеет значение:

(2.28)

Видно, что с увеличением скорости потока величина уменьшается.

Используя (2.27), можно найти максимальную и среднерасходную скорости:

(2.30)

2.4 Степенной эмпирический закон распределения скорости

В практической работе и в теории очень часто пользуются более простыми эмпирическими формулами, чем формула (2.27) . Наиболее распространенной является степенная формула:

(2.31)

Эта формула не универсальна, так как показатель степени в ней зависит от числа Re. Это хорошо видно из таблицы 2.1.

Таблица 2.1

Re	4 ∙103	2,3∙ 104	1∙ 105	1,1∙ 106	1∙ 107
n

Величина расхода жидкости через трубу с профилем скорости, заданной формулой (2.31), равна:

(2.32)

Среднюю скорость определим по формуле:

(2.33)

При n=1/7 найдем или .

Коэффициент Кориолиса для турбулентного течения в трубе с профилем скорости (2.31) равен:

(2.34)

При n=1/7 найдем (при ламинарном течении ).