63. Порядок проведения экспериментов с моделями.

Основная задача планирования экспериментов заключается в получении необходимой информации об исследуемой системе при ограниченных ресурсах (затраты машинного времени, памяти и т.п.). Эффективность экспериментов существенно зависит от выбора плана эксперимента, т.к. именно план определяет объём и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приёмы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы. Поэтому основная задача планирования экспериментов с моделью формируется следующим образом: необходимо получить об объёме моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы) при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования. При планировании экспериментов возникает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностью функционирования моделируемого объекта, так и с особенностью машинной реализации модели и обработки результатов эксперимента. В первую очередь к таким относятся проблемы построения плана эксперимента, стохастической сходимости результатов, ограниченности машинных ресурсов, уменьшения дисперсии оценок, полученных на модели и т.д. Рассмотрим основные понятия теории планирования эксперимента. В планировании эксперимента различают входные (изогенные) и выходные (эндогенные) переменные: х₁, х₂,…, х_к; y_1, y₂…, y_e. Входные переменные в ТПЭ называют факторами а выходные — реакциями. Каждый фактор x_i, i=1,2,…,k может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов. Каждому фиксированному набору уровню факторов соответствует определённая точка в многомерном пространстве, называемая факторным пространством. Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как это например оказано для случая двух факторов Х₁ и Х₂ на рисунке (см. ниже рис. 1.). Рис. 1. Геометрическое представление поверхности реакции. Реакцию (отклик) системы можно представить в виде зависимости: y_l=_l(x₁, x₂,…,x_k); e=1…m. Функцию _e, связанную с факторами, называют функцией отклика, а её геометрический образ – поверхностью отклика. Исследователь заранее не известен вид зависимостей _l, l=1…m, поэтому используют приближение соотношения: Зависимость и _l находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов (числе испытаний), варьируя выходные значения по специально сформулированным правилам, построить математическую модель системы и оценить её характеристики. Факторы при проведении эксперимента могут быть управляемыми и неуправляемыми, количественными или качественными, фиксированными и случайными. Фактор относится к изучаемым, если он включён в модель для изучения свойств системы. Количественными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, ёмкости накопителей, количество обслуживающих каналов и другие. Качественным факторам не соответствует числовая шкала (дисциплины постановки на очередь, обслуживание каналов и другие).Фактор является управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором.При планировании эксперимента обычно изменяются несколько факторов. Основными требованиями, предъявляемыми к факторам - независимость и совместимость. Совместимость означает, что все комбинации факторов осуществимы.Для выбора конкретной модели планирования эксперимента необходимо сформулировать такие её особенности, как адекватность, содержательность, простота.План эксперимента обычно используется для определения экстремальной характеристики объекта. Поэтому планирование эксперимента называется экстремальным. В планировании эксперимента наибольшее значение нашли модели в виде алгебраических полиномов.Предполагаем, что изучается влияние К количественных факторов х_i на некоторую  в отведённый для экспериментирования локальной области факторного пространства ограниченного х_{i min}—x_{i max}, i=1…k.Функцию отклика обычно выбирают линейной или квадратичной. где векторс элементами , входящих в исходный полином; - вектор коэффициентов. Для двух факторов имеем: f₀=1, f₁=x₁, f₂=x₂, f₁₂=x₁x₂, f₁₁=x₁², f₂₂=x₂². (b₀,b₁,b₂,b₁₂,b₁₁,b₂₂). Так как полином (1) содержит d коэффициентов, то план эксперимента должен содержать Nd различных экспериментальных точек:

где x_in­ - значение, которое принимает i-ая переменная в u-ом испытании. i=1…k, u=1...N. Матрица D называется планом эксперимента.Реализовав испытания в N очках области факторного пространства, определённом планом эксперимента, получим вектор наблюдений имеющий следующий вид: где y_u - реакция соответствующей u-ой точке плана.

Плану эксперимента поставим в соответствие матрицу планирования: где f_il, f_ijl - координатные функции при соответствующих коэффициентах модели, в l - ом эксперименте.Построению плана эксперимента предшествует проведение ряда неформализованных действий (принятия решения) направленных на выбор локальной области факторного пространства G.Необходимо учитывать, что как только модель сформирована включение дополнительных факторов для уточнения модели невозможно. Вначале следует выбрать границы x_{i min} и x_{i max} области определения факторов исходя из свойств объекта. Например, температура при термобарических экспериментах не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала из которого изготовлена термобарокамера. После определения области G необходимо найти нулевые (основные) уровни факторов и интервалы варьирования x_i, i=1…k. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПЭФ). Если выбранная модель включает только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется ПЭ с варьированием всех k факторов на двух уровнях, т.е. q=2. Такие планы называются планы типа 2^k, где n=2^k- число всех возможных испытаний.Начальным этапом ПЭ для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем x_iн и верхнем x_iв, симметрично расположенных относительно основного уровня x_i0, i=1…k. Геометрическая интерпретация показана ниже на Рис. 2. ПЭФ типа 2².Для упрощения записи условий каждого эксперимента факторы кодируют в видебезразмерных величин .Средний уровень кодированного фактора является нулём 0, граничные значения соответственно +1 и -1.

Рис. 2. ПЭФ типа 2².

Для упрощения записи условий каждого эксперимента факторы кодируют в виде безразмерных величин .Средний уровень кодированного фактора является нулём 0, граничные значения соответственно +1 и -1.

64. Понятие адекватности модели и пути подтверждения адекватности.

В процессе работы модель выступает в роли относительно

самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании

некоторые знания о самом объекте. Если результаты такого исследования

(моделирования) подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Проверка адекватности и корректировка модели. Проверка адекватности модели необходима, так как по неверным результатам моделирования могут быть приняты неверные решения. Проверка может производиться путем сравнения показателей, полученных на модели, с реальными, а также путем экспертного анализа. Желательно проведение такого анализа независимым экспертом. Если по результатам проверки адекватности выявляются недопустимые расхождения между системой и ее моделью, в модель вносят необходимые изменения.В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится.Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному

объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение

справедливо относительно моделей проектируемых систем (то есть в ситуациях, когда реальная система вообще не существует).

Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее

распространенных способов такого обоснования — использование методов

математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае — об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев.При проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы — они могут лишь указать на отсутствие опровержения.Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе? Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

по средним значениям откликов модели и системы;

по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от

откликов системы. Названные способы оценки достаточно близки между собой по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной Y среднему значению отклика реальной системы Y*Всем моделям присуще наличие некоторой структуры (статической или динамической, материальной или идеальной), которая подобна структуре объекта – оригинала. В процессе работы модель выступает в роли относительно самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании

некоторые знания о самом объекте. Если результаты такого исследования

(моделирования) подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Проверка адекватности и корректировка модели. Проверка адекватности модели необходима, так как по неверным результатам моделирования могут быть приняты неверные решения. Проверка может производиться путем сравнения показателей, полученных на модели, с реальными, а также путем экспертного анализа. Желательно проведение такого анализа независимым экспертом. Если по результатам проверки адекватности выявляются недопустимые расхождения между системой и ее моделью, в модель вносят необходимые изменения. В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится.

Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование

определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (то есть в ситуациях, когда реальная система вообще не существует).

При проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы — они могут лишь указать на отсутствие опровержения.Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе? Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

по средним значениям откликов модели и системы; по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы; по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой по сути, поэтому

ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной Y среднему значению отклика реальной системы Y*.

В результате N0 опытов на реальной системе получают множество значений

(выборку) Y*. Выполнив NM экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной Y.

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин Y* и Y (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является t-статистика (распределение Стьюдента). Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением tКР взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство tn<tKР, то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется

возможным.Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель. Данная

проблема сходна с проверкой корректности любой компьютерной программы, и ее можно решать соответствующими методами, например с помощью тестирования.