Добавил:

Fragga Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Методичка по Мат. анализу 3 семестр очно-заочного отделения. Кратные интегралы.2007г

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.05.2014

Размер:

165.68 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III СЕМЕСТР

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО

ОТДЕЛЕНИЙ

МОСКВА 2007

Составители: А.Б.Зайцев, Е.С.Мироненко, А.И.Сазонов, Д.А.Хрычев, А.Л.Шелепин

Редактор Ю.И.Худак

Контрольные задания являются типовыми расчетами по разделам математического анализа (кратные интегралы и векторный анализ), изучаемым студентами вечернего и заочного отделений МИРЭА в третьем семестре. Типовые расчеты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в пособии вопросы к экзамену по математическому анализу могут быть уточнены и дополнены лектором. При составлении типовых расчетов были использованы методические разработки коллектива кафедры высшей математики МИРЭА.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: И.А. Соловьев О.В. Свистова

°c МИРЭА, 2007

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ "КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ"

ЗАДАЧА 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x; y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств.

N	f(x; y)	D

1	x2 + y2 ¡ 7xy + 2x ¡ 7y + 22	¡1 6 x 6 1; 0 6 y 6 2
2	x2 + y2 + 4x ¡ 2y + 7	x > ¡2; y > 1; x + y 6 1
3	¡3x2 ¡ 2xy ¡ y2 + 4x + 4y	x 6 1; y > 2; y ¡ x 6 2
4	10 + xy ¡ 2x2	0 6 y 6 x2 + 1; ¡1 6 x 6 1
5	x2 + 8xy + 17y2 ¡ 2x ¡ 8y + 1	¡1 6 x 6 1; ¡1 6 y 6 1
6	6x2 ¡ 4xy + y2 + 12x ¡ 4y + 10	x 6 0; y 6 1; x + y > ¡2
7	x2 + 3y2 + x ¡ y	x 6 1; y > 0; y 6 x + 1
8	x2 + 2xy ¡ y2 + 4x	x 6 0; y 6 0; x + y + 2 > 0
9	x2 + xy ¡ 2	4x2 ¡ 4 6 y 6 0
10	x2 + 2xy + 4x + 2y + 3	¡1 6 x 6 2; ¡2 6 y 6 0
11	x2 + 4y2 ¡ 6x + 10	x 6 4; y 6 1; x + y > 2
12	x2 + 4y2 ¡ 6xy + 2x ¡ 6y + 18	¡2 6 x 6 0; ¡1 6 y 6 1
13	4 ¡ y2 ¡ 4xy ¡ 5x2	x 6 1; y > ¡1; y 6 x + 1
14	4 + xy ¡ x2	x2 ¡ 1 6 y 6 3

N	f(x; y)	D

15	x2 ¡ xy + y2 + x ¡ 2y + 2	x 6 0; y > 1; y ¡ x 6 2
16	x2 + 6xy + 12y2 + 4x + 12y + 4	¡3 6 x 6 ¡1; ¡1 6 y 6 1
17	x2 + 2y2 ¡ x + y	x + 2y > 0; x 6 1; y 6 0
18	x2 + 4xy ¡ 4y2 + 4x	x 6 0; y 6 0; x + y + 2 > 0
19	x2 + xy + 1	0 6 y 6 1 ¡ x2
20	x2 + 4xy ¡ 2x + 4y	¡3 6 x 6 1; 0 6 y 6 2
21	x2 + xy + y2 + x + 2y + 1	y 6 0; x + y > ¡2; x ¡ y 6 2
22	2x2 + 3xy + y2 + x + 2	¡1 6 x 6 1; ¡1 6 y 6 1
23	x2 ¡ xy + x + y + 4	0 6 y 6 2x2 + 1; 0 6 x 6 1
24	x2 + xy ¡ y2 + 2x + y + 2	x > ¡1; y > 0; x + y 6 0
25	4x2 + 3xy + y2 ¡ 6x ¡ 4y + 8	¡1 6 x 6 1; 1 6 y 6 3
26	x2 + 2xy + 2y2 + x + y + 1	y > 0; x + y 6 1; x ¡ y > ¡1
27	x2 ¡ y2 ¡ 2x ¡ 2y + 4	¡1 6 x 6 2; ¡2 6 y 6 1
28	x2=2 + xy + y + 2	0 6 y 6 4 ¡ x2
29	4xy ¡ y2 ¡ 4x ¡ 2y + 4	y > x; y > 2 ¡ x; y 6 2
30	x2 + 4xy + 5y2 + x + y + 1	y ¡ x 6 3; y > 0; x 6 ¡1

ЗАДАЧА 2. В повторном интеграле рядок интегрирования.

Rb dx ÃR(x)f(x; y)dy

a'(x)

изменить по-

N	a	b		'(x)					Ã(x)					N	a	b		'(x)								Ã(x)

		1						2	p										2				p
1	0	1	1 ¡ x					2	p	1 ¡ x			2	16	¡2	2		x	2		¡ 4		p								2
1	0	2	1 ¡ x							1 ¡ x				16	¡2	2		x			¡ 4					4 ¡ x
	¡1		x2 ¡ 1						1 ¡ x2						¡2		1 ¡ x2=4						p
2	¡1	1	x2 ¡ 1						1 ¡ x2					17	¡2	2	1 ¡ x2=4						p		1 ¡ x2=4
			p						p								p							p
				1 ¡ x2=4						4 ¡ x2
3	0	2		1 ¡ x2=4						4 ¡ x2				18	0	1			1 ¡ x										1 + x
			¡p						2 ¡ x						¡2		x2 + 2x						p
4	1	2	¡p		2x ¡ x2				2 ¡ x					19	¡2	0	x2 + 2x						p	¡x2 ¡ 2x
				x2=9													p							3 ¡ x2
5	0	3		x2=9							x			20	0	1	p	2(1 + x2)						3 ¡ x2
					x2				8 ¡ x2								¡p						p
6	¡2	¡1			x2				8 ¡ x2					21	¡1	1	¡p				1 + x		p				1 ¡ x2
			¡p						p									x3=3								x2=2
7	0	3	¡p		3x ¡ x2				p			3x		22	0	1		x3=3								x2=2
									p						1
													2
8	¡2	2		x ¡ 2						4 ¡ x			2	23		1			px					3 ¡ 2x
8	¡2	2		x ¡ 2						4 ¡ x				23	4	1			px					3 ¡ 2x
		10	p												1	1														2
9	2	10	p			2	¡ 4		(x + 2)=2					24	1	1					x			1 ¡ 2x						2
9	2	3		x			¡ 4		(x + 2)=2					24	¡2	2					x			1 ¡ 2x
									p
													2						3
10	0	1				x					1 + x		2	25	¡1	0			3						2p¡x
10	0	1				x					1 + x			25	¡1	0			px						2p¡x
	¡2		x2 ¡ 2						x2=2														p
11	¡2	2	x2 ¡ 2						x2=2					26	0	1					x		p				2 ¡ x2
				1=x2															p				p
12	1	2									1=x			27	0	4												x2 + 4
12	1	2									1=x			27	0	4						x						x2 + 4
13	2	1		2 ¡ x							1=x			28	1	4		px=4											px
	1
					p																		p
14	0	1							3 ¡ x					29	0	3					0					25 ¡ x2
14	0	1					x		3 ¡ x					29	0	3					0					25 ¡ x2
					x2				12 ¡ x						¡1	¡21	¡p
15	0	2			x2				12 ¡ x					30	¡1	¡21	¡p			1 ¡ x2						1 + x

ЗАДАЧА 3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси OX (варианты 1 15) или оси OY (варианты

16 30). При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

N					D			N	D

1			x2 + y2 6 2y; y > 23					16	x2 + y2 + 2y 6 0; x + y 6 0
2	x2 + y2 6 1; x + y > 1							17	x2 + y2 6 2x; x + y > 2
3	(x2 + y2)2 6 4(x2 ¡ y2)							18	x2 + y2 6 2; y 6 x 6 1
4			2x 6 x2 + y2 6 4x;					19	(x2 + y2)2 6 xy
				¡x 6 y 6 x
5			xy 6 1; 2x 6 y 6 x					20	4y 6 x2 + y2 6 6y; y > x
6	x2 + y2 6 4; x2 + y2 6 4x							21	¡2y 6 x2 + y2 6 1
7	x2 + y2 6 4y; x + y > 4							22	x2 + y2 6 4x; x > 2
		2		2	p
							3
8	x		+ y		+ 2x 6 0; y >			23	xy 6 2; x 6 2y; y 6 2x
						2
9	x2 + y2 6 4; y 6 ¡1; y 6 x							24	2x 6 x2 + y2 6 9; x > 0
		(x2 + y2)2 6 x2 + 2y2							x2 + y2 6 4y; x 6 ¡p
10								25		3
11	x2 + y2 + 6y 6 0; y 6 ¡3							26	(x2 + y2)2 6 4x2 + y2
12			x2 + y2 6 4x; x > 1					27	x2 + y2 6 4; y 6 x + 2
13				x2 + y2 6 4;				28	x2 + y2 6 1; x2 + y2 + 2x 6 0;
			x2 + y2 > 2y						y > x

N	D	N	D

14	x2 + y2 6 4; x 6 ¡1	29	x2 + y2 6 16; y > 2
15	9 6 x2 + y2 6 6x; y 6 x	30	x2 + y2 6 4y; y > 1; x + y > 0

ЗАДАЧА 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела G, заданного неравенствами.

N			G		N			G

1	0 6 z 6 16 ¡ y2; x2 + y2 6 16				16	x2 + y2 6 4; 0 6 z 6 x2 + y2
	2	2	2						2		2
	2	2	2	> 0;		2px2 + y2 6 z 6 x			2		2
2	x2	+ y2	¡ z2	> 0;	17	2px2 + y2 6 z 6 x				+ y		+ 1
	x	+ y	+ z	6 25
3	x2 + y2 6 2y;				18	¡2 6 x 6 y; 0 6 z 6 1 ¡ y2
	0 6 z 6 4 ¡ x2 ¡ y2
4	z 6 4 ¡ x2 ¡ y2; 0 6 z 6 3				19	x2 + y2 6 25; 0 6 z 6 x5
5	0 6 y 6 3 ¡ x; 0 6 z 6 1 ¡ x2				20	z2 6 x2 + y2; x2 + y2 + z 6 0
6	x2 + y2 6 9; 0 6 z 6 y2				21	0 6 y 6 2 ¡ x; x2 6 z 6 1 ¡ x2
7	x2 + y2 6 1; 0 6 z 6 x				22		x2 + y2 6 1;
						x + y 6 z 6 3 ¡ x2 ¡ y2
8	y2 6 x 6 2y2 ¡ 1;				23	x2 + y2 + z2 6 2; z 6 x2 + y2
	0 6 z 6 1 ¡ y2
9	x2 + y2 6 9; 0 6 z 6 3 ¡ y				24	x2 6 y 6 1; 0 6 z 6 x2 + y2

N			G	N			G

	p		6 z 6 2 ¡ x2 ¡ y2		x2 + y2 6 2y; z2 6 4(x2 + y2)
10	p	x2 + y2	6 z 6 2 ¡ x2 ¡ y2	25	x2 + y2 6 2y; z2 6 4(x2 + y2)
11	x2 + y2 6 1; 0 6 z 6 1 + y2			26	x > 0; 0 6 y 6 2 ¡ x;
					p		6 z 6 1
					p	x	6 z 6 1

12	z > 0; y > z2; 0 6 x 6 1 ¡ y			27	x2 + y2 6 9; x 6 z 6 3x
13		x2 + y2 + z2 6 9;		28	x > ¡1; 0 6 y 6 1 ¡ x;
		x2 + y2 6 1 ¡ 2z			0 6 z 6 x2
14		x2 + y2 6 2x;		29	x2 + y2 6 2x; y 6 0;
		x2 + y2 ¡ 16 6 z 6 0			x2 + y2 + z2 6 4
15		¡x 6 y 6 0; x ¡ y 6 8;		30	x2 + y2 6 1; z > 0;
		0 6 z 6 y2			x2 + y2 + z2 6 4

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ "ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ"

ЗАДАЧА 1. Найти дивергенцию и ротор векторного поля ~a, задаваемого векторным произведением ~a = [~c; grad u]. Вектор ~c и скалярное поле u указаны в таблице.

+ yz

~{ + ~| + k

2~| + k

xy + y

+ y + z

xy + xz

2~{ + ~| + k

~{ ¡ 2k

z + y

~{ + 2~|

¡ y

~{ + 2~| + k

x + y + z

¡ x

2~{ ¡ ~| + k

2~| + k

xy ¡ x + z

2~{ + ~|

z + y

3~{ + ~| + k

xy + yz

+ xz

~{ + ~| + 3k

~{ + 2~| + k

xz + y

yz ¡ x

~{ ¡ ~| + k

~{ ¡ 2~| + k

xy + y + z

3xy ¡ xz

2~{ + 3~| + k

2~{ ¡ ~| + k

xyz

3xz ¡ zy

~{ + 2~| + k

2~{ + ~| ¡ k

xy ¡ z

2xz + yz

~{ + ~| + 2k

2~{ + ~| + 2k

xy ¡ yz

¡ xz

~{ + ~| + k

2~{ ¡ ~| + 2k

+ yz

zx + 2xy

~{ + ~| ¡ k

3~{ + 2k

¡ 2y

2xy ¡ 4yz

~{ ¡ ~| + k

2~{ ¡ 3k

¡ 3xz

+ xz

¡~{ + ~| + k

~{ + 3~| ¡ k

¡ 2yz

¡ 4xy

2~{ + k

2~{ + ~| + k

ЗАДАЧА 2. Вычислить криволинейный интеграл

P (x; y)dx + Q(x; y)dy

по замкнутому контуру L, пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.

N	P (x; y)	Q(x; y)	L

1	x2 + y	y2 ¡ 1	x = 0; y = 0; x + y = 1
2	y	2xy + x	x = 0; x ¡ y = 0; x + y ¡ 2 = 0
3	xy2 ¡ 2y	x2y	x = 0; y = 0; x ¡ y + 2 = 0
4	2xy	(x + 1)2	x = 0; y = 0; x + 4y ¡ 4 = 0
5	x ¡ 2	3x + y	x = 0; y ¡ 2 = 0; 2x ¡ y = 0
6	x2 ¡ 2x + y + 1	y2 ¡ 1	x = 1; y = 0; x + y = 2
7	y	2xy + x ¡ 2y ¡ 1	x ¡ y = 1; x ¡ 1 = 0; x + y = 3
8	xy2 ¡ 2y2 ¡ 2y	(x ¡ 2)2y	x = 2; y = 0; x = y
9	2(xy ¡ y)	x2	x ¡ 1 = 0; y = 0; x + 4y ¡ 5 = 0
10	x ¡ 3	3x + y ¡ 3	x ¡ 1 = 0; y ¡ 2 = 0;
			2x ¡ y ¡ 2 = 0
11	x2 ¡ 2x + y	y2 ¡ 2y	x = 1; y = 1; x + y = 3
12	y ¡ 1	2xy ¡ x	x ¡ y + 1 = 0;
			x = 0; x + y ¡ 3 = 0

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
26.05.201414.57 Кб1413 семестр, очно-заочное, ИТ.pdf
#
26.05.2014266.97 Кб55Вопросы по матану 2 семестр.jpg
#
26.05.2014165.68 Кб58Методичка по Мат. анализу 3 семестр очно-заочного отделения. Кратные интегралы.2007г..pdf
#
26.05.2014169.37 Кб18Формулы операционного исчисления.jpg