Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
МИРЭА - Российский технологический университет
Предмет:
Математический анализ
Файл:

Методичка по Мат. анализу 3 семестр очно-заочного отделения. Кратные интегралы.2007г

..pdf
Скачиваний:
58
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
165.68 Кб
Скачать
☆

11

N

P (x; y)

Q(x; y)

L

 

 

 

 

13

(xy ¡ 2x ¡ 2y + 2)£

x2y ¡ 2x2 ¡ 4xy+

x = 2; y = 2; y ¡ x = 2

 

£(y ¡ 2)

+8x + 4y ¡ 8

 

14

(2x ¡ 2)(y ¡ 1)

x2

x ¡ 1 = 0; y ¡ 1 = 0;

 

 

 

x + 4y ¡ 9 = 0

15

x ¡ 3

3x + y ¡ 4

x ¡ 1 = 0; y ¡ 3 = 0;

 

 

 

2x ¡ y ¡ 1 = 0

16

x2 + 2x + y + 1

y2 ¡ 1

x + 1 = 0; y = 0; x + y = 0

17

y ¡ 1

2xy ¡ x + 2y ¡ 1

x + y ¡ 2 = 0;

 

 

 

x ¡ y + 2 = 0; x + 1 = 0

18

y(xy + 2y ¡ 2)

x2y + 4xy + 4y

x + 2 = 0; y = x + 4; y = 0

19

2y + 2xy

x(x + 4) + 4

x + 1 = 0; y = 0;

 

 

 

x + 4y ¡ 3 = 0

20

x ¡ 1

3x + y + 3

x + 1 = 0; y ¡ 2 = 0;

 

 

 

2x ¡ y + 2 = 0

21

x2 + y + 1

y2 + 2y

x = 0; y + 1 = 0;

 

 

 

x + y = 0

 

 

 

 

22

y

2xy + x + 2y + 1

x + 1 = 0; x + y ¡ 1 = 0;

 

 

 

x ¡ y + 1 = 0

12

N

P (x; y)

Q(x; y)

L

 

 

 

 

23

(xy + x ¡ 2)(y + 1)

x2y + x2

x = 0; y + 1 = 0;

 

 

 

x ¡ y + 1 = 0

24

2x(y + 1)

(x + 1)2

x = 0; y + 1 = 0;

 

 

 

x + 4y = 0

 

 

 

 

25

x ¡ 2

3x + y + 1

x = 0; y ¡ 1 = 0;

 

 

 

2x ¡ y ¡ 1 = 0

26

x2 + 2x + y

y2 ¡ 2y

x + 1 = 0; y ¡ 1 = 0;

 

 

 

x + y = 1

 

 

 

 

27

y + 1

2xy + 3x + 2y + 3

x + 1 = 0; x ¡ y = 0;

 

 

 

x + y = 0

 

 

 

 

28

(y ¡ 1)(xy ¡ x + y ¡ 3)

(x + 1)2(y ¡ 1)

x + 1 = 0; y ¡ 1 = 0;

 

 

 

y ¡ x = 4

29

(x + 1)(2y ¡ 2)

(x + 2)2

x + 1 = 0; y ¡ 1 = 0;

 

 

 

x + 4y = 7

 

 

 

 

30

x ¡ 1

3x + y + 2

x + 1 = 0; y ¡ 3 = 0;

 

 

 

2x ¡ y + 3 = 0

13

ЗАДАЧА 3. Найти поток векторного поля ~a через замкнутую по-

верхность, ограничивающую указанное тело G, в направлении внеш-

ней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами: непосредственно, вычислив поток через все гладкие куски поверхности, и с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

N

 

~a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

+ z

2

 

6 2x; x 6 2

 

 

x~{ + z~| ¡ yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

~

 

 

 

 

x

2

+ y

2

6 4y; 0 6 z 6 4

 

z~{ + 2y~| ¡ xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

~

 

 

 

 

(z ¡ 1)

2

> x

2

 

 

 

2

; z > 0

y~{ ¡ x~| + zk

 

 

 

 

 

 

 

+ y

4

 

~

 

 

 

 

 

x

2

+ y

2

 

6 1; 0 6 z 6 x

 

yz~{ + yzk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y~{ ¡ x~| + zk~

p

 

 

 

 

 

6 z 6 4 ¡ x2 ¡ y2

5

4 ¡ x2 ¡ y2

6

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡1 6 z 6 ¡x

2

¡ y

2

 

 

3y~{ ¡ 3x~| + 2zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

x~{ + y~| ¡ zk

 

 

 

 

 

2

 

 

+

 

2

 

 

6

 

 

6 p

 

 

+

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

~

 

 

x

 

 

 

+ y

 

 

 

 

6 z 6 6 ¡ x

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

y~{ ¡ x~| + zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

¡ y

 

9

2

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ y

2

+ z

2

6 5;

 

 

 

 

y ~{ ¡ xy~| + zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z > x2 + y2

 

 

 

 

 

10

 

~

(z + 1)

2

+ x

2

 

+ y

2

6 1; z 6 ¡1

x~{ + y~| + (1 ¡ z)k

 

 

 

 

11

2

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 6 x 6 4 ¡ z

2

¡ y

2

 

 

2x ~{ ¡ z~| + yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

2

~

x

2

+ y

2

6 4; 0 6 z 6 2; y > 0

y ~| + k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2~

 

 

 

 

 

 

x2 + z2

 

6 y 6 2; z 6 0

 

13

~{ ¡ ~| + z k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

N

~a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + z2

 

6 y 6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

y~{ + x~| + yzk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

~

 

 

 

x

2

 

+ z

2

 

6 4; 0 6 y 6 ¡x

 

 

(x + z)~{ + (x + y)~| + (z ¡ x)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

2

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 6 y 6 2 ¡ x

2

 

¡ z

2

 

 

 

 

 

 

 

z~{ + 2y ~| ¡ xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 + z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

¡x~{ + y~| + zk~

 

 

 

 

 

6 x 6 py2 + z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

~

 

 

 

y

2

 

 

+ z

2

 

6 x 6 2 ¡ y

2

¡ z

2

 

 

x~{ ¡ z~| + yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

¡ z

2

6 y 6 9 ¡ x

 

¡ z

xy~{ + yzk

 

9 ¡ x

 

 

 

 

 

 

 

20

 

2~

x

2

+ y

2

 

 

+ z

2

 

6 3; x

2

 

+ z

2

 

 

6 ¡2y

xz~{ + y~| ¡ x k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + z)~{ + y~| + (z ¡ x)~k

 

 

 

 

 

0 6 z 6 p

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

4 ¡ x2 ¡ y2

 

 

 

 

22

 

~

2x 6 4 ¡ y

2

 

¡ z

2

; x > 0; z > 0

x~{ ¡ y~| ¡ zk

 

 

 

 

 

 

23

 

2~

 

 

 

 

 

 

 

¡2 6 z 6 1 ¡ x

2

¡ y

2

 

 

 

 

 

 

y~{ ¡ x~| + 2z k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xz~{ + z~| + yk~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

6 z 6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

x

+ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ z

2

 

 

 

 

x~{ ¡ y~| + zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 y 6

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

26

2

~

x

2

+ y

2

+ z

2

 

6 8; 2x > y

2

+ z

2

x~{ + z ~| ¡ yzk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~{ + ~| ¡ z3~k

 

 

 

p

 

6 z 6 2; x > 0

 

 

27

 

 

 

x2 + y2

 

 

28

 

~

2y 6 9 ¡ x

2

 

¡ z

2

; y > 0; z 6 0

xy~{ + x~| + yzk

 

 

 

 

 

 

29

 

~

 

 

 

 

 

x

2

 

+ y

2

 

+ z

2

 

6 9; x 6 0

 

 

 

 

x~{ + (y + z)~| + (z ¡ y)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

2

~

 

 

 

 

 

 

 

 

1 6 2z 6 2 ¡ x

2

¡ y

2

 

 

 

 

 

 

x ~{ + zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

ЗАДАЧА 4. Найти циркуляцию векторного поля ~a по замкнуто-

му контуру, ограничивающему указанную поверхность ¾. Задачу

решить двумя способами: вычислив непосредственно линейный интеграл векторного поля и применив формулу Стокса. Направление обхода контура выбрать произвольно.

N

~a

¾

 

 

 

 

 

x + y + z = 3

1

2y~{ + 3x~| + x2~k

½ x2 + y2 6 1

 

x~{ ¡ xz~| + yk~

x + y + z = 1

2

½x > 0; 0 6 y 6 z

3

xy~{ + z2~k

y2 = 9 ¡ x ¡ z

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

xy~{ + x~| ¡ yzk~

y = z

4

½x2 + y2 6 4

 

y~{ ¡ z2~| + xk~

x + 2y + 2z = 2

5

½x > 0; y > 0; z > 0

 

 

x = z + 1

6

xz~| + y2~k

½x2 + y2 6 1

7

xy~{ + xy~|

x2 + y2 = 1 ¡ z

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

z2~{ ¡ x~| ¡ yk~

y = z + 1

8

½x2 + y2 6 4

 

y2~{ ¡ x2~| + ~k

3x + y + 2z = 6

9

½x > 0; y > 0; z > 0

 

z2~{ ¡ x2~| + zk~

2x + y + z = 2

10

½x > 0; y > 0; z > 0

 

 

x + y + z = 5

11

x~| + y2~k

½ x2 + y2 6 9

16

N

 

 

 

~a

 

 

 

¾

 

 

 

 

 

 

12

y~{

¡

x~| + xk~

x2 + z2 = 4 ¡ y

 

 

 

 

 

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

13

y2~{

¡

~| + ~k

z2 = 4 ¡ x ¡ y

 

 

 

 

 

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

z~{ ¡ y2~| + x2~k

x + y + z = 3

14

½3x2 + y2 6 16

15

y~{

¡

z~| + xk~

y2 = 1 ¡ x ¡ z

 

 

 

 

 

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

y~{ ¡ x2~| ¡ xk~

z = y + 2

16

½x2 + y2 6 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2y + z = 4

17

xy(~{ + ~| + ~k)

½x > 0; y > 0; z > 0

18

z~{

¡

y~|

¡

xk~

x2 + z2 = 1 ¡ y

 

 

 

 

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

yz~{ ¡ x~| + yk~

z = x + 1

19

½x2 + y2 6 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y z = 3

20

xz~{ + x~| + yk~

½2 x2 + y¡2 6 1

 

x~{ + 2y~| ¡ 3xk~

x + y + z = 3

21

½ y2 + z2 6 1

22

y~{ + x~|

¡

xzk~

x + y ¡ z = 1

 

 

 

 

 

 

 

½x > 0; y > 0; z 6 0

23

xy~| + z2~k

z2 = 1 ¡ x ¡ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

¡yz~{ + xy~| + xk~

x = z

24

½y2 + z2 6 4

17

N

~a

 

 

¾

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 2y + z = 2

25

z2~{ + y~| + xk~

½x > 0; y > 0; z > 0

 

 

 

 

z = x + 1

26

y2~{ + z~| + xzk~

½y2 + z2 6 1

27

x2~{ + xz~|

¡

zk~

x2 = 1 ¡ y ¡ z

 

 

 

½x > 0; y > 0; z > 0

 

¡y~{ + z2~| ¡ xk~

x y + 2z = 2

28

½2 y¡2 + z2 6 4

 

~{ + y2~| ¡ x2~k

x + 2y + z = 2

29

½x > 0; y > 0; z > 0

 

z~{ + z2~| ¡ x2~k

x + y + 2z = 2

30

½x > 0; y > 0; z > 0

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Функция нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

2.Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных.

3.Определение дифференцируемой функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

4.Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

5.Неявная функция нескольких переменных и ее частные производные.

18

6.Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

7.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

8.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области.

9.Определение двойного интеграла, его геометрический смысл. Теорема существования двойного интеграла.

10.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному интегралу.

11.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

12.Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла.

13.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному интегралу.

14.Цилиндрические координаты. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

15.Сферические координаты. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

16.Свойства кратных интегралов: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств.

17.Свойства кратных интегралов: теорема об оценке и теорема о среднем.

18.Физические приложения кратных интегралов: вычисление масс, моментов, координат центра масс.

19.Скалярные и векторные поля. Поверхности уровня и векторные линии.

20.Градиент скалярного поля и его свойства.

21.Производная скалярного поля по направлению, ее связь с градиентом.

22.Градиент скалярного поля. Теорема об ортогональности градиента к поверхности уровня.

19

23. Дивергенция векторного поля, ее свойства.

24. Ротор векторного поля, его свойства.

25. Оператор Гамильтона, запись градиента, дивергенции и ротора

~

с его помощью. Вывод формул rot grad u = 0 è div rot~a = 0.

26.Определение криволинейного интеграла по длине дуги. Теорема существования криволинейного интеграла по длине дуги.

27.Свойства криволинейного интеграла по длине дуги. Его вычисление с помощью интегрирования по параметру.

28.Определение поверхностного интеграла 1-го рода. Теорема существования поверхностного интеграла 1-го рода.

29.Свойства поверхностного интеграла 1-го рода. Его вычисление методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

30.Определение потока векторного поля через ориентированную поверхность. Вычисление потока методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

31.Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского в векторной и координатной формах.

32.Определение линейного интеграла векторного поля и его вычисление с помощью интегрирования по параметру.

33.Линейный интеграл плоского векторного поля. Теорема Грина.

34.Условия независимости линейного интеграла плоского векторного поля от формы пути.

35.Теорема Стокса в векторной и координатной формах.

36.Определение и свойства потенциального поля.

37.Определение и свойства соленоидального поля.

СОДЕРЖАНИЕ

Типовой расчет по теме "Кратные интегралы". . . . . . . . . . . . 3 Типовой расчет по теме "Векторный анализ" . . . . . . . . . . . . . 9 Теоретические вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции

Подписано в печать .04.2007. Формат 60£84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,16. Усл.кр.-отт. 4,64. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 250 экз.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 119454, Москва, просп. Вернадского, 78

Соседние файлы в предмете Математический анализ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности