18. Др якия дапускаюць панижэнне парадку.

1. Раўнанні, якія ўтрымліваюць тольку незалежную зменную і вытворныя n-га парадку.

Раўнанне y⁽ⁿ⁾=f(x) інтэгруецца n-кратным паслядоўным яго інтэграваннем.

Прыклад: y^///=

y^//=

y^/=

y=

2. Раўнанні, якія не ўтрымліваюць шукаемую функцыю.

F(x,y^/,y^//)=0 (1)

Парадак раўнання можа быць зніжаны на 1 з дапамогай падстаноўкі:

z(x)=y^/

z^/(x)=y^//

(1): F(x,z,z^/)=0

З дапамогай гэтай падстаноўкі z(x)=y(x) можна таксама панізіць парадак на k-раўнанняў выгляду:

F(x,y^(k),y^(k-1),…,y^(k))=0

Прыклад: y^//(x²+1)=2xy^/

z(x)=y^/

z^/(x)=y^//

z^/(x²⁺¹)=2xz

,c₁>0

z=c₁(x²+1) c₁

z=0 z=c₁(x²+1), c₁

y^/=c₁(x²+1)

y=c₁( )+c₂ c₁, c₂

3. Раўнанні якія не утрымліваюць незалежную зменную , парадак гэтага р-ня можна знізіць на 1-ку з дапамогай падстаноўкі y ^/=z(y);

y⁽³⁾=…; y⁽⁴⁾=…; F(y, z, z^/z,…,…)=0

Прыклад: yy^//-(y^/)²=0; y ^/=z(y); y^//=zz^/; yzz^/-z²=0; (z=0)

; z=C₁y; y^/=C₁y => y=C₂e^C1*x ; C₁,C₂ R.

§19. Лндр з пастаяннымі каэфіцыентамі.

Разгледзем раўнанне наступнага выгляду (1) L[y]=y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + … + a_n y = f(x), дзе f(x) – непарыўная на інтэтвале (a,b) ф-цыя. Будзем лічыць што мы ведаем ФСР адпаведнага аднароднага раўнаня, агульнае рашэнне (1), можна знайсці метадам Лагранджа.

У асобных выпадках, калі правая частка мае спецыяльны выгляд, агульнае рашэнне можна знайсці, як сумму агульнага рашэння ЛАДР + частковае рашэнне раўнання (1), якое знаходзіцца метадам нявызначанных каэфіцыентаў.

Агульныя выпадкі можна запісать ў выглядзе табліцы.

№	Правая частка	Карані хар-га р-ня	Выгл. частков. раш-я
1	P(x)	0 – не з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння
		0 – з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння кратнасці s
2		a – не з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння
		a – з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння кратнасці s
3		±β – не з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння
		±β– з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння кратнасці s
4		α±β– не з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння
		Лік α±β – з’яўляецца каранем характарыстыўнага раўняння кратнасці s

Дзе P(x),Q(x) – мнагасклады ступені n,m адпаведна, а , - мнагачлены ступені k з нявызначанымі каэфіцыентамі.

Разгледзм падрабязна выпадак калі раўнанне мае парадак 2, .

1) Няхай f(x)мае выгляд , дзе .

Бедзем шукаць частковае рашэнне ў выглядзе

, дзе , дзе - невядомыя лікі.

,

Падставім ў раўнанне (2)

(3)

a) лік а не з’яўляецца каранем характарыстычнага раўнання г.зн. a² +pa + q ≠ 0, тады з (3) можна вызначыць каэфіцыенты q₀ , q₁ ,…,q_m прыраўноўваючы кафіцыенты пры аднолькавых ступенях х, злева і зправа.

Зправа стаіць мнагачлен з вядомымі каэфіцыентамі, а злева, мнагачлен каэфіцыенты якога нвдв знайсці.

б) Няхай а аднакратны корань характарыстычнага раўнання, тады відавочна ў (3) каэфіцыент пры знікне і злева будзе стаяць мнагачлен ступені n-1 , а справа ступені n, пагэтаму частковае рашэнне трэба шукаць ў выглядзе , падстаўляючы гэты выраз ў (2) можна таксама вызначыць каэ-ты .

в) а корань кратнасці 2, у гэтым выпадку a² + pa + q = 0 , частковае рашэнне шукаецца ў выглядзе

2) Калі правая частка раўнання мае вызляд , у гэтым выпадку трэба выкарыстоўваць формулы Эйлера , ,тады

Дзе , Мнагачлены ступені k з камплекснымі каэфіцыентамі, k=max{n,m}

Згодна з тэарэмай накладання (§16 т.2) частковае рашэнне будзем шукаць у вызлядзе, , дзе , - мнагачлены з нявызначанымі каэфіцыентамі. Далей, пасля знаходжання каэфіцыентаў, застаецца зноў вярнуцца па формуле Эйлера да сапраўднага выгляду.