14. Рашэнне лндр першага парадку. Метад Лагранджа. Раунанне Бернули.

Метад Лагранжа (метад варыяцыі адвольнай канстанты)

На практыцы для рашэння ЛНДР (1) карыстаюцца мадыфікацыяй метада Бернулі, якая носіць назву метада Лагранжа.

Будзем знаходзиць частковае рашэнне лндр (1).

Сутнасць метада знаходжання частковага рашэння заключаецца у тым, што спачатку рашаецца адпаведнае аднароднае дыф. раун., а затым знаходзицца агульнае рашэнне лндр з дапамогай замены канстанты С на невядомую функцыю С(х).

y=C -- рашэнне адпаведнага ладр.

Шукаем рашэнне (1) у выглядзе:

y=C(х) (7).

Падстауляем (7) у (1):

+ C(х) (-p(x))+ C(х) (p(x))=q(x)

= q(x)

= = q(x)*

C(х)= dx+С, C R.

Падставим гэта у (7) и атрымаем адказ.

Азн. Раунаннем Бярнули называецца раунанни наступнага выгляду:

y’+p(x)y=q(x) , дзе

Памножым абедзве частки на :

y’+ p(x)y = q(x)

z= -- прыменемгуту падстаноуку.

z’= (

= y’

+ p(x) z= q(x).

Пасля дамнажэння на атрымаем лндр.

Прыклад 1:

ydx+xdy=0

d(xy)=ydx+xdy

d(xy)=0

xy=C

15.Тэарэма Пикара для здр першага парадку

Нахай дадзена ДР (1) з пачатковымі умовамі y(x₀) = y₀ (2). Калі функцыя f(x;y) здавальняе натупным умовам:

f(x;y) – непарыўная па абедзьвух зменных x і y ў замкненным абсягу D = {(x,y) | |x-x₀| a, |y-y₀| b}, дзе a і b – дадзеныя дадатныя лікі. Тады M>0 | |f(x;y)| M пунктаў (x;y) D

Функцыя f(x;y) задавальняе ўмове Ліпшыца па другой зменнай, г.зн |f(x;y₁)–f(x,y₂)| L|y₁–y₂| пунктаў (x;y) D, дзе L 0 – пастаянная Ліпшыца

Тады рашэнне у(х) ДР (1), якое задавальняе пачатковай умове (2) і якое вызначана і непарыўна дыферанцаванае значэнняў x з абсягу |x-x₀| h, дзе і якое D для гэтых х.

План доказу

Будуецца дапаможнае інтэгральнае раўнанне

Будуецца паслядоўнасць функцый, якая наз набліжанымі рашэннямі і высвятляюцца ўласцівасі набліжаных рашэнняў

Знаходзіцца ліміт паслядоўнасці набліжаных рашэнняў

Паказваецца, што ліміт паслядоўнасці з’яўляецца рашэннем зыходнай задачы Кашы

Паказваецца адзінасць знойдзенага рашэння

Доказ

1

Пакажам, што ДР (1) з пачатковымі ўмовамі (2) эквівалентна наступнаму інтэгральнаму раўнанню:

(3)

Пакажам, што калі функцыя н(ч) задавальняе інтэгральнаму раўнанню (3), то яна будзе задавальняць задачы Кашы (1), (2). Т.як функцыя f непарыўная, то (3) можна дыферанцаваць па х: . Падставім ў інтэгральнае раўнанне пачатковую ўмову: . Пакажам, што з (1), (2) => (3). Праінтэгруем ДР (1):

; ;

2

Высветлім уласцівасці:

Любая з ф-цый yk з’яўляецца непарыўнай, т.як y₀(x) – пастаянная ф-цыя, y₁ – непарыўная як ф-цыя непарыўнага верхняга ліміту

Для любога k ф-цыі y_k(x) вызначаны ў абсягу |x-x₀| h, а іх графік не выходзіць з D

|y₁(x)-y₀(x)| =|y₀(x)+ -y₀(x)| =| | | | | |=M| |=M|x-x₀| Mh = b;

Па ММІ: дапусцім, што пры |x-x₀| h не выходзіць з D, тады |y_n(x)-y₀(x)| = |y₀(x)+ -y₀(x)| = =| | | | (па дапушчэнню ММІ і т.як рашэнне y_n-1 не выходзіць з D, то) | |=M| |=M|x-x₀| Mh. Згодна з ММІ кожная y_n пры |x-x₀| h, y_n(x) поўнасцю належыць D.

(4) – паслядоўнасць набліжэння.

3

Разгледзім наступны шэраг: y₀(x)+[y₁(x)–y₀(x)]+…+[y_n(x)–y_n-1(x)]+…+. (5)

Частковая сума S_n(x)=y_n(x). Па гэтаму задача можа быць зведзена да разгляду пытання аб збежнасці шэрагу. Пакажам, што шэраг збягаецца раўнамерна x |x-x₀| h.

Ацэнім кожны з членаў функцыянальнага шэрагу:

|y₀(x)|=|y₀|;

|y₁(x)-y₀(x)| M|x-x₀|;

|y₂(x)-y₁(x)| | | = | | | выкарст умову Ліпшыца: | | L = LM = LM ;

………………………..

|y_n-1(x)-y_n-2(x)| L^n-2 M ;

|y_n(x)-y_n-1(x)| | | выкарст умову Ліпшыца і ул-ці інтэгралаў: | | L = L^n-1 M = L^n-1 M ;

Т.ч. атрымалі, што

|y₀(x)|=|y₀|;

|y₁(x)-y₀(x)| Mh;

|y₂(x)-y₁(x)|

……………….

|y_n(x)-y_n-1(x)| L^n-1 M ;

Т.ч. фунцыйны шэраг (5) абмежаваны зверху лікавым шэрагам: y₀ + Mh + + L^n-1 M +… па прыкмеце Даламбера: = = = 0 < 1, т.ч. па прыкмеце Вейерштраса шэраг (5) збягаецца раўнамерна пры адвольных x з прамежку |x-x₀| h. Кожна складнік шэрагу есць непарыўная ф-цыя. Па гэтаму і Y(x)– непарыўная на абсягу |x-x₀| h ф-цыя і

4

Пакажам, што Y(x) – сапраўды рашэнне (3), г.зн. (6);

=> |y_n(x)-Y(x)|< ;

| | па ул-ці інтэгралаў і ўмове Ліпшыца

|y_n(x)-y₀(x)| b Пераходзячы да ліміту, атрымаем: |Y(x) – y₀(x)| b

< L | | L h;

= Г.зн што y=Y(x) з’яўляецца рашэннем інтэгральнага раўнання (3), якое вызначана і непарыўна дыферанцаванае на прамежку |x-x₀| h (т.як згодна з (6) Y(x) – дыфер ф-цыя, т.як у (6) зправа стаіць інтэграл со зменнай верхняй мяжой ад непарыўнай ф-цыі).

5

Няхай на [x₀;x₀+ε] (ε>0) 2 рашэнні: Y(x), Z(x), якія на гэтым [ ]не супадаюць:Y(x) Z(x), г.зн што , x₁ [x₀;x₀+ε].

, т.ч або 1 Lh => . Але гэта не заўседы выконваецца ?!