§10. Комбинаторика.

Решение вероятностных задач на классическую схему часто облегчается использованием комбинаторных формул. Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу m элементов из n различных элементов исходного множества M={x₁,x₂,…,x_n}. При этом в постановке каждого такого опыта строго оговорено, каким образом производится выбор и что понимается под различными выборками.

Существуют две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (без повторения). Это значит, что отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества. Во второй схеме (с повторениями) выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором.

После того, как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперименты по выбору наудачу m элементов из общего числа n различных элементов множества М.

1. Схема выбора, приводящая к размещениям. Опыт состоит в выборе m элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку. Различными исходами данного опыта будут упорядоченные m-элементные подмножества множества М, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называются размещением без повторений из n элементов по m, а их общее число определяется формулой

.

В частном случае, когда , т.е. в выборке (строке) участвуют все элементы множества М (причём каждый по одному разу), опыт фактически состоит в произвольном упорядочивании множества М, т.е. сводится к случайной перестановке элементов всего множества. При этом, получаем, что (число различных перестановок из n элементов) в этом случае

.

Замечание. Примем по определению равенство 0!=1.

2. Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями. Выбор m элементов из множества М={x₁,x₂,…,x_n} производится с возвращением и с упорядочиванием. Различными исходами будут всевозможные m-элементные наборы (вообще говоря, с повторениями), отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Например при m =4 множества (строки) и считаются различными исходами данного опыта. Полученные в результате комбинации называются размещением с повторениями из n элементов по m. Их общее число определяется формулой

Пример 1. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпают по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой и еще какая-либо лунка)?

Решение. Занумеруем лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки. Строка (х₁,х₂,…,х₇) полностью характеризует распределение шариков по лункам (х_i – номер лунки в которую попал i-ый шар). Каждое из чисел х₁,х₂,…,х₇может принимать любое целое значение (номер лунки) от 1 до 4. Так, например, строка (1,1,3,1,4,4,2) означает, что в первую лунку попали шары с номерами 1,2,4, во вторую лунку – шар №7, в третью – шар №3, в четвертую – шары №5 и №6. Таким образом, число всех распределений 7 шариков по 4 лункам равно числу различных строк длиной 7 из множества M={1,2,3,4}. Следовательно, их будет .

Событие А={первая лунка окажется пустой} соответствует такому выбору, когда номер 1 (номер первой лунки) удалён из строки. Поэтому и значит .

Пример 2. Множество М состоит из 10 первых букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Сколько 4-буквенных слов может быть получено в данном опыте? Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой «а» (событие А)?

Решение. – число всех 4-буквенных слов в данном опыте – равно числу 4-элементных упорядоченных подмножеств множества из 10 букв, т.е. .

Событию А соответствует число способов разместить на 3 оставшихся места по одной букве из 9 (буква «а» исключена из рассмотрения, поскольку её место уже определено). Таким образом и значит .

3. Схема выбора, приводящего к сочетаниям без повторения. Опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания. Различными исходами следует считать m – элементные подмножества множества М, имеющие различный состав. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят название сочетания из n элементов по m, а их общее число определяется по формуле

.

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Для них справедливы следующие тождества, полезные при решении задач:

1. (свойство симметрии)

2. (рекуррентное соотношение)

3. Имеет место следующая формула, называемая формулой бинома Ньютона

.

Пример 3 (задача о выборке). Из партии, содержащей n изделий, среди которых n₁ бракованных, наудачу извлекают m изделий для контроля. Найти вероятность следующего события А={в полученной выборке содержится ровно m₁ бракованных изделий}.

Решение. Занумеруем изделия числами от 1 до n. Согласно описанию эксперимента производится выбор без возвращения и без упорядочивания m элементов из n. Поэтому число таких выборок равна . Cобытию А благоприятствуют такие исходы когда m₁ элемент выборки из m изделий принадлежит множеству из бракованных изделий, а остальные m-m₁ изделие этой выборки принадлежит множеству из m- не бракованных изделий. Число всех таких исходов равно (поскольку на каждую выборку m₁ бракованных изделий из бракованных приходится выборок m-m₁ не бракованных изделий из общего числа n- не бракованных). Окончательно получаем

.

4. Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями. Опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества М={ x₁,x₂,…,x_n }, но без последующего упорядочивания, то есть различными исходами такого опыта будут всевозможные m -элементные наборы, отличающиеся составом. Например, при m =4 наборы и неразличимы для данного эксперимента, а набор отличен от любого из предыдущих. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой

.

Замечание. Эта схема в задачах на классическую схему теории вероятностей используется редко, поскольку исходы по этой схеме выбора часто оказываются не равноправными.

5. Размещения данного состава. Полиномиальная формула. Пусть – строка длиной к, составленная из элементов упорядоченного множества X={a₁,а₂,…,а_n}, состоящего из n-элементов. Тогда каждому номеру i из совокупности 1,2,…, n будет соответствовать число к_i, показывающее, сколько раз элемент а_i встречается в строке . Выписывая по порядку эти числа, получаем новую строку (к₁, к ₂,…, к _n), которую называют составом строки . Например, если X={а₁,а₂,а₃,а₄} и , то строка имеет состав (3,0,2,1) (в ней элемент а₁ встречается 3 раза, элемент а₂ – 0 раз, а₃ – 2 раза, а₄ – 1 раз). Две строки, имеющие один и тот же состав, могут отличаться друг от друга лишь порядком номеров. Их называют размещениями (с повторениями) данного состава. Число размещений имеющий данный состав ( к₁, к₂,…, к_n ) будет выражаться следующей формулой

.

Аналогично формуле Бинома Ньютона, имеет место полиномиальная формула

,

где суммирование в правой части формулы производится по всевозможным наборам целых неотрицательных чисел к₁,к₂,…,к_n таких, что к₁+к₂+…+к_n=к.

Пример 4. Игральную кость бросают 10 раз. Какова вероятность, что при этом грани 1,2,3,4,5,6 выпадут соответственно 2,3,1,1,1,2 раза (событие А),

Решение. Число всех строк длиной 10 из элементов множества X ={1,2,3,4,5,6} равно . благоприятными для А будут строки, в которых элементы 1,2,3,4,5,6 встречаются соответственно 2,3,1,1,1,2 раза, т.е. строки, имеющие состав (2,3,1,1,1,2). Число таких строк будет равно:

Отсюда искомая вероятность будет равна .

В заключение этого параграфа приведём пример, являющийся обобщением задачи о выборке.

Пример 5. В урне имеется n шаров; из них: n₁ шаров 1-го цвета,…, n_i шаров i-го цвета,…, шаров m-го цвета (n₁+n₂+…+n_m=n). Из урны вынимается одновременно к шаров. Найти вероятность того, что среди них будет: к₁ шаров 1-го цвета,…, к_m шаров m-го цвета, где к₁+к₂+…+к_m=к (событие А).

Решение. Общее число случаев равно числу способов, какими можно вынуть к шаров из n, т.е. . Число благоприятных событию А случаев будет равно

Так как группу шаров первого цвета можно выбрать способами, группу шаров второго цвета способами и т.д. Искомая вероятность будет равна

.