Математичний апарат цифрової мікросхемотехніки

Теоретичною основою проектування цифрових пристроїв є алгебра логіки. Розробка основ алгебри логіки зв’язана з іменем Дж.Буля (англійського математика), тому її ще називають також булевою алгеброю. В ній, на відміну від звичайної алгебри, змінні аргументи можуть набувати лише два значення – 0 або 1(логічного нуля або логічної одиниці). Під час подання цифрових сигналів у додатній логіці логічному нулеві відповідає низький рівень напруги , а логічній одиниці – високий рівень

Логічні функції утворюються з логічних зміних, об’єднаних знаками логічних операцій. Як і логічні змінні, логічні функції можуть набувати лише значення логічного нуля або логічної одиниці.

Існують три основні логічні операції:

• Логічне додавання(диз’юнкція)

• Логічне множення(кон’юнкція)

• Логічне заперечення(інверсія)

У найпростішому випадку диз’юнкція подається виразом:

Кон’юнкція – виразом

Інверсія – виразом

В алгебрі логіки існують чотири основні закони:

1. – переставний або комутативний

2. – узгоджувальний або асоціативний

3. – розподільчий або дистрибутивний

4. – інверсії або правило Моргана

Ці закони подаємо для логічних операцій – логічного додавання і логічного множення в таблиці 1.

8

Таблиця законів №1

№ п/п	Закон	Логічне додавання	Логічне множення
1	Переставний
2	Узгоджувальний
3	Розподільчий
4	Інверсії

Використовуючи основні закони алгебри логіки можна скласти ряд правил, які застосовуються при аналізі складних логічних виразів з метою перетворення цих виразів до більш простого виду.

Додаткові правила алгебри логіки

(аксіоми алгебри логіки)

Таблиця законів №2

№ п/п	Закон	Логічне додавання	Логічне множення
1	Заперечення, інверсія
2	Подвійного заперечення
3	Незмінності
4	Універсальної і нульової множини
5	Повторення
6	Додатковості

9

Розглянуті вище правила дозволяють суттєво спростити вирази логічних функцій. Чим менше елементів складає вираз, тим простіше реалізується для нього логічна схема. Такий процес зменшення складних логічних функцій в більш прості логічні функції одержав назву мінімізації логічних функцій.

У процесі проектування цифрових пристроїв і для мінімізації логічних функцій використовують метод безпосередніх перетворень – який полягає у використанні ще таких законів для спрощення аналітичної форми:

№ п/п	Закон	Логічне додавання	Логічне множення
1	Поглинання
2	Склеювання

Відомо також ще кілька співвідношення, які дозволяють спрощувати

аналітичний вираз:

1. 

2. 

3. 

Етап 3

Користуючись розподільчим законом зведемо рівняння до вигляду:

y = x1*(x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4)+x1*x4*(x2*x3+ +x2*x3+x2*x3).

Використовуючи правило додатковості зведемо рівняння до вигляду:

y = x1*(x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4)+x1*x4*(x2*x3+1).

10

Використовуючи правило додатковості і незмінності ( і ) зведемо рівняння до вигляду:

y = x1*(x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4+x2*x3*x4)+x1*x4.

Використовуючи правило склеювання і співвідношення зведемо рівняння до вигляду:

y = x1*(x2*(x3*x4+x3*x4+x3*x4+x3*x4)+x2*x3*x4)+x1*x4.

Користуючись розподільчим законом зведемо рівняння до вигляду:

y = x1*x2+x1*x2*x3*x4+x1*x4.

Подамо функцію у базисі І-НЕ внаслідок чого різко зменшується кількість використаних мікросхем для цього скористаємось законом інверсії та повторення :

y = x1*x2*x1*x2*x3*x4*x1*x4.

Логічні зміні				Логічна функція	x 1*x4	x 1*x2	x 1*x2*x3*x4	Логічна функція
0	0	0	0	0	1	1	1	0
0	0	0	1	0	1	1	1	0
0	0	1	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1	0	0
0	1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1
0	1	1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	1	0
1	0	1	0	0	1	1	1	0
1	0	1	1	0	0	1	1	0
1	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1	1	0
1	1	1	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	0	1	1	1	0

y min= x1*x2*x1*x2*x3*x4*x1*x4. Функціональна електрична схема функції показана на рисунку 2.

11