5.6 Форвардные ставки и коэффициенты дисконтирования
Уравнение (5.12) показывает, как может вычисляться коэффициент дисконтирования для t лет через t -летнюю спот-ставку. В частности, двухгодовой коэффициент дисконтирования, связанный с 8%-ной двухгодовой спот-ставкой, равен 1/(1 + 0,08)2 = 0,8573.
Уравнение (5.17) предлагает эквивалентный метод вычисления коэффициентов дисконтирования. При вычислении двухгодового коэффициента дисконтирования необходимо воспользоваться формулой:
или
В результате коэффициент дисконтирования для года t, являющийся членом уравнения (5.12), может быть выражен следующим образом:
Таким образом, имея набор слот-ставок, можно определить рыночную функцию дисконтирования любым из этих двух способов - результат будет одинаковый. В первом случае слот-ставки используются в уравнении (5.12) для получения набора коэффициентов дисконтирования. Во втором случае спот-ставки используются для определения набора форвардных ставок, а затем путем внесения в уравнение (5.21) спот-ставок и форвардных ставок определяется набор коэффициентов дисконтирования.
5.7 Начисление сложных процентов
До сих пор при обсуждении процентных ставок предполагалось, что выплаты процентов происходят ежегодно. Часто подобный подход является адекватным, но для более точных подсчетов желательны более короткие промежутки времени. Более того, некоторые кредиторы производят перерасчет процентов несколько раз в год.
Начисление сложных процентов (compounding) – это выплата процентов на проценты. В конце каждого периода начисления процентов к основной сумме долга добавляются проценты. За следующий период проценты начисляются исходя из увеличенной суммы основного долга. Этот процесс продолжается до окончания последнего интервала такого начисления.
Рассмотренные ранее формулы можно применить для расчета сложных процентов за интервалы времени, кратные одному году. Для упрощения процедуры можно вести расчеты в единицах выбранных периодов начисления. Например, доходность к погашению может быть подсчитана для любого выбранного интервала времени инвестирования. Если вклад Р долларов обернется получением F долларов через десять лет, то доходность к погашению может быть рассчитана при ежегодном начислении сложных процентов из следующего уравнения:
(5.22)
так как F будет получена через десять годовых периодов. Результат (ra) будет означать годовую ставку процента при ежегодном начислении сложных процентов.
Аналогично доходность к погашению может быть рассчитана при полугодовом начислении сложных процентов из уравнения:
(5.23)
так как F будет получена через 20 полугодовых периодов. Результат (rs) будет означать полугодовую ставку при начислении сложных процентов каждые полгода. Она может быть удвоена для получения годовой ставки с полугодовым начислением. Аналогично годовая ставка (ra) при ежегодном начислении сложных процентов может быть рассчитана при вычислении ставки rs из следующего уравнения:
(5.24)
Например, рассмотрим инвестицию, стоящую $2315,97, которая принесет $5000 через десять лет. Применяя уравнения (5.22) и (5.23), получаем:
и
откуда получаем, что ra = 8% и rs =3,923%. Таким образом, инвестиция в данную ценную бумагу может бьпъ описана как инвестиция в банковский депозит, соответствующая или 8%-ной годовой ставке с ежегодным начислением, или полугодовой ставке 3 923% с полугодовым начислением сложных процентов, или годовой ставке 7,846% (2 х 3,923%)2 с полугодовым начислением сложных процентов.
Для уменьшения проблем, возникающих вследствие большого числа методов определения процентных ставок, Федеральный закон о справедливом кредитовании (Federal Truth-in-Lending Act) требует от каждого кредитора подсчета и представления годовой процентной ставки (APR, annual percentage rate), следующей из условий контракта. Годовая процентная ставка определяется следующим образом: 1) рассчитывается доходность к погашению за период, равный периоду начисления сложных процентов. Этот период берется равным минимальному интервалу между выплатами процентов; 2) полученная процентная ставка умножается на количество периодов начисления, содержащихся в целом году. При неравной величине интервалов выплат задача усложняется, но в Федеральном законе о справедливом кредитовании эта ситуация предусмотрена, что упрощает задачу сравнения условий различных займов.
Полугодовое начисление сложных процентов обычно используется при определении доходности к погашению для облигаций, так как купонные выплаты, как правило, делаются дважды в год. Большинство финансовых калькуляторов и компьютерных программ позволяют вычислять доходности к погашению при многократных годовых выплатах3.