Понятие к-равновероятности двоичной функции.

46. Понятие к-равновероятности двоичной функции.

Определение:Двоичная функцияназываетсяк - равновероятной,, если все её подфункции, полученные фиксацией произвольныхкпеременных произвольными константами, равновероятны.

Обозначим классы всех равновероятных и к - равновероятных двоичных функций отnпеременных черезR(n)=R(n,0) и R(n,k),

Докажите самостоятельно справедливость следующих включений:

Данное утверждение показывает, что к - равновероятная функция остается равновероятной при фиксации произвольныхm,m<K, переменных.

47. Формулировка критерия к-равновероятности двоичной функции (связь с коэффициентами стат. Структуры). Доказательстсво необходимости условий.

48. Формулировка критерия к-равновероятности двоичной функции (связь с коэффициентами стат. Структуры). Доказательство достаточности условий.

Теорема. (Критерий к - равновероятности функций). Двоичная функцияявляетсяк - равновероятной, в том и только в том случае, когда ее коэффициенты статистической структурыпри равны нулю (-число единиц в набореa).

Доказательство. Пусть функция f(x)к - равновероятна. Тогда при ,, коэффициентравен;

.

Так как к - равноверояная функция является иm- равновероятной,m<к, то по доказанному и=0 при ,m<K.

Пусть теперь =0 при всехас условием .

Рассмотрим сначала случай к=1. Для любогоимеемприа=0. Следовательно

или

Откуда

Пусть теперь при. Воспользуемся индукцией пок.

Согласно утверждению о связи статистической структуры функции со статистическими структурами её подфункций (см. п.6) имеем

Следовательно при всех. Пользуясь предположением индукции заключаем, что

Поскольку такое разложение можно проделать для любой переменной, отличной от , то получаем, что все подфункциииявляются(к-1)- равновероятными. Следовательно, функцияf(x)к - равновероятна.

Данная теорема показывает, что к - равновероятные функции не имеют линейных аналогов, зависящих не более, чем откпеременных. Приведём более сильное утверждение о том, чток - равновероятные функции не имеют статистических аналогов среди всех двоичных функций, зависящих не более, чем откпеременных. Такие функции называютсяк - устойчивыми.

Теорема. (Критерий к - равновероятности функций). Двоичная функцияк - равновероятна в том и только в том случае, когда онак-устойчива.

Доказательство. к - устойчивая функция не имеет в том числе и линейных аналогов, зависящих не более чем откпеременных.

Обратно, пусть функция к - равновероятна. Тогда

что и требовалось доказать.

Теорема. (О связи к - равновероятных ик - выравнивающих функций).

Если двоичная функция к - равновероятна, то она(к+1)-выравнивающая.

Доказательство. Пусть – вероятностная функция функции. По утверждению о совпадении многочленови(см. п. 3) имеем

где действительный многочлен функции. Положим,и покажем, что в многочленеот переменныхне содержится одночленовстепеней,. Разложим многочленпо первымпеременным:

где

Многочлены являются вероятностными функциями подфункций. Так как ук - равновероятных функций все такие подфункции равновероятны, то

где многочлен имеет нулевой свободный член. Поэтому

После раскрытия скобок и приведения подобных членов в последней сумме все одночлены будут зависить обязательно хотя бы от одной из переменных . Следовательно в многочлененет ни одного одночлена, зависящего только от переменных. Рассуждая аналогично, получаем, что в нем нет вообще одночленов степеней меньших, либо равных. Таким образом рассматриваемая функция является– выравнивающая.