
- •17. Реализация булевых функций формулами. Примеры полных систем.
- •18. Замкнутые классы двоичных функций, понятие суперпозиции функций.
- •20. S - самодвойственные функции.
- •21.М - монотонные функции.
- •22.L - линейные функции.
- •Критерий полноты.
- •23. Доказательство утверждения о несамодвойственной функции.
- •24. Доказательство утверждения о немонотонной функции.
- •25. Доказательство утверждения о нелинейной функции.
- •26. Доказательство критерия о полноте класса функций.
- •Параметры булевых функций.
- •27. Понятие действительного многочлена двоичной функции. Примеры для функций от двух переменных.
- •28. Доказательство теоремы об однозначном представлении двоичной функции в виде действительного многочлена.
- •29. Понятие вероятностной функции двоичной функции.
- •30. Доказательство теоремы о равенстве значений вероятностной функции со значением действительного многочлена от вероятностей р1,р2,…,рn.
- •Спектральное разложение двоичных функций.
- •31. Доказательство ортогональности функций { (-1)(а,х), аn
- •32. Доказательство теоремы о представлении двоичной функции рядом Фурье.Представление булевых и псевдобулевых функций через базисы линейных пространств.
- •Представление булевых и псевдобулевых функций через базисы линейных пространств.
- •Статистическая структура двоичной функции.
- •41. Понятие статистического аналога двоичной функции.
- •42. Понятие статистической структуры двоичной функции.
- •43. Доказательство связей значений коэффициентов Фурье двоичной функции со значениями ее статистической структуры.
- •44. Методы вычисления статистической структуры двоичной функции.
- •45. Доказательство теоремы о связи статистической структуры двоичной функции состатистическими структурами ее подфункций
- •Понятие к-равновероятности двоичной функции.
- •46. Понятие к-равновероятности двоичной функции.
- •47. Формулировка критерия к-равновероятности двоичной функции (связь с коэффициентами стат. Структуры). Доказательстсво необходимости условий.
- •48. Формулировка критерия к-равновероятности двоичной функции (связь с коэффициентами стат. Структуры). Доказательство достаточности условий.
- •Способы задания двоичных функций
Понятие к-равновероятности двоичной функции.
46. Понятие к-равновероятности двоичной функции.
Определение:Двоичная функцияназываетсяк - равновероятной,
,
если все её подфункции, полученные
фиксацией произвольныхкпеременных
произвольными константами, равновероятны.
Обозначим классы всех равновероятных и к - равновероятных двоичных функций отnпеременных черезR(n)=R(n,0) и R(n,k),
Докажите самостоятельно справедливость следующих включений:
Данное утверждение показывает, что к - равновероятная функция остается равновероятной при фиксации произвольныхm,m<K, переменных.
47. Формулировка критерия к-равновероятности двоичной функции (связь с коэффициентами стат. Структуры). Доказательстсво необходимости условий.
48. Формулировка критерия к-равновероятности двоичной функции (связь с коэффициентами стат. Структуры). Доказательство достаточности условий.
Теорема. (Критерий к - равновероятности
функций). Двоичная функцияявляетсяк - равновероятной, в том
и только в том случае, когда ее коэффициенты
статистической структуры
при
равны
нулю (
-число
единиц в набореa).
Доказательство. Пусть функция f(x)к - равновероятна. Тогда при
,
,
коэффициент
равен
;
.
Так как к - равноверояная функция
является иm- равновероятной,m<к, то по
доказанному и=0
при
,m<K.
Пусть теперь
=0
при всехас условием
.
Рассмотрим сначала случай к=1. Для
любогоимеем
приа=0. Следовательно
или
Откуда
Пусть теперь
при
.
Воспользуемся индукцией пок.
Согласно утверждению о связи статистической структуры функции со статистическими структурами её подфункций (см. п.6) имеем
Следовательно
при всех
.
Пользуясь предположением индукции
заключаем, что
Поскольку такое разложение можно
проделать для любой переменной, отличной
от
, то получаем, что все подфункции
и
являются(к-1)- равновероятными. Следовательно,
функцияf(x)к - равновероятна.
Данная теорема показывает, что к - равновероятные функции не имеют линейных аналогов, зависящих не более, чем откпеременных. Приведём более сильное утверждение о том, чток - равновероятные функции не имеют статистических аналогов среди всех двоичных функций, зависящих не более, чем откпеременных. Такие функции называютсяк - устойчивыми.
Теорема. (Критерий к - равновероятности
функций). Двоичная функцияк - равновероятна в том и только в
том случае, когда онак-устойчива.
Доказательство. к - устойчивая функция не имеет в том числе и линейных аналогов, зависящих не более чем откпеременных.
Обратно, пусть функция
к - равновероятна. Тогда
что и требовалось доказать.
Теорема. (О связи к - равновероятных ик - выравнивающих функций).
Если двоичная функция к - равновероятна, то она(к+1)-выравнивающая.
Доказательство. Пусть
–
вероятностная функция функции
.
По утверждению о совпадении многочленов
и
(см.
п. 3) имеем
где
действительный многочлен функции
.
Положим
,
и покажем, что в многочлене
от переменных
не содержится одночленов
степеней
,
.
Разложим многочлен
по первым
переменным:
где
Многочлены
являются вероятностными функциями
подфункций
.
Так как ук - равновероятных функций
все такие подфункции равновероятны, то
где многочлен
имеет нулевой свободный член. Поэтому
После раскрытия скобок и приведения
подобных членов в последней сумме все
одночлены будут зависить обязательно
хотя бы от одной из переменных
.
Следовательно в многочлене
нет ни одного одночлена, зависящего
только от переменных
.
Рассуждая аналогично, получаем, что в
нем нет вообще одночленов степеней
меньших, либо равных
.
Таким образом рассматриваемая функция
является
– выравнивающая.